利用导数探究f(x)是否穿过x轴单调的策略

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在高中数学中，有一类函数问题需要利用导数方法探究函数f（x）在区间D上是否穿过x轴单调递增或单调递减.对此类问题，许多学生找不到突破口，甚至束手无策.以下结合实例探讨判断函数f（x）在区间D上是否穿过x轴单调递增或单调递减的策略.

1判断函数f（x）的值的符号

例1已知a∈R，关于x的方程xx2+x+2=a最多有（）个实数解.

A.1B.2C.3D.4

解析原题可转化为函数f（x）=xx2+x+2与y=a的交点问题.对函数f（x）=xx2+x+2求导后得f′（x）=2-x2（x2+x+2）2，由此可得，f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上单调递减，f（x）在[-2，2]上单调递增.

下面我们要关心的问题是，f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上单调递减是穿过x轴单调递减吗？

图1

因为x取一切实数，x2+x+2>0

恒成立，所以x∈（-∞，-2]时，

f（x）0，

故f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上

都不是穿过x轴的单调递减，其模拟图象如图1，

于是直线y=a与函数y=f（x）最多有2个不同的交点，故选B.

评注此题用极限思想也可以判断函数f（x）在单调区间（-∞，-2]，[2，+∞）上的图象的走向.

2判断函数f（x）的值的符号与极限思想并用

例2已知关于x的方程lnxx=a有且只有一个实数根，求实数a的取值范围.

解析原题可转化为函数f（x）=lnxx与y=a的交点问题.因为f′（x）=1-lnxx2，注意到定义域是（0，+∞），所以由此可得，f（x）在（0，e]上单调递增，f（x）在[e，+∞）上单调递减.

下面我们要关心的问题是，f（x）在（0，e]上是否是穿过x轴的单增？f（x）在[e，+∞）上是否是穿过x轴的单减？

因为f（e）=1e>0，f（1）=0，且x=0时，方程lnxx=0无实根，即函数f（x）=lnxx无意义（不存在），所以f（x）在（0，e]上是穿过x轴的单增，且x=0（y轴）是函数f（x）的图象的一条渐近线.

图2

因为f（e）=1e>0，在[e，+∞）上，

f（x）>0，所以f（x）在[e，+∞）上是没有穿

过x轴的单减，且y=0（x轴）是函数f（x）在区间

[e，+∞）上的图象的一条渐

近线，如图2，于是由函数f（x）=lnxx的

图象与直线y=a有且只有一个交点得

a≤0.故实数a的取值范围是a≤0.

评注上述例1、例2是两道典型的具有代表性的易错题，错因是判断函数f（x）的图象的变化趋势不准确.

3极限思想

例3已知当x∈[0，+∞）时，关于x的不等式ax2-x+ln（x+1）≤0恒成立，求实数a的取值范围.

解析设f（x）=ax2-x+ln（x+1），

f′（x）=x[2ax+（2a-1）]x+1.

若a=0，则f′（x）=-xx+1

f（x）在[0，+∞）上单调递减，

又f（0）=0，如图3，所以a=0符合题意.

图3图4

若a>0，则

当1-2a2a12时，f（x）在[0，+∞）

上单调递增，又f（0）=0，如图4，

所以a>12不符合题意.

当1-2a2a≥00

0，1-2a2a上单调递减；在1-2a2a，+∞上单调递增，又f（0）=0，

这时，我们要关心的问题是，f（x）在1-2a2a，+∞上是穿过x轴递增吗？

因为x+∞时，f（x）+∞，所以0

若a

所以f（x）在[0，+∞）上单调递减，如图3，又f（0）=0，故a

综上，实数a的取值范围是a≤0.

评注当1-2a2a≥000，从而f（x）在[1-2a2a，+∞）上是穿过x轴单调递增.

例4证明：当x∈[1，+∞）时，12x+12（x+1）>ln（1+1x）.

图5

证明令f（x）=12x+12（x+1）-ln（1+1x）（x≥1），

因为f′（x）=-12x2（x+1）2

所以函数f（x）在[1，+∞）上单调递

减，且f（x）的值无限趋近于0，故在区

间[1，+∞）上，f（x）的图象恒在x轴上

方，即在[1，+∞）上，f（x）是没有穿过

x轴的单调递减，如图5，故f（x）>0，

从而不等式12x+12（x+1）>ln（1+1x）（x≥1）成立.

4零点思想

例5已知关于x的不等式a-12ex+xex-2a

解析a-12ex+xex-2a

令f（x）=（a-12）e2x-2aex+x，

f′（x）=（2a-1）e2x-2aex+1=（ex-1）[（2a-1）ex-1].

若2a-1≤0a≤12.

此时，在区间（0，+∞）上恒有f′（x）

从而f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；要使

f（x）

f（0）≤0，其模拟图如图6，f（0）≤0

-a-12≤0a≥-12，由此求得a的取值范

围是-12，12.

图6图7

若2a-1>0a>12.

当ln12a-1≤0a≥1时，f（x）在

（0，+∞）上单增.

因为f（0）=-a-12

我们要关心的问题是，f（x）是穿过x轴单调递增吗？

因为f（ln4）=a-12e2ln4-2aeln4+ln4=8a-8+ln4>0（取x=ln2，ln3，能判定f（ln2），f（ln3）的值的符号吗？不能！）

所以，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上是穿过x轴单调递增，如图7，于是a≥1不符合题意.

当ln12a-1>012

因为f（0）=-a-12

取a=34，则ln12a-1=ln2.

此时，取x=ln6，则

f（ln6）=34-12×e2ln6-2×34×eln6+ln6

=364-364+ln6=ln6>0（取x=ln3，ln4，ln5，能判定f（ln3），f（ln4），f（ln5）的值的符号吗？不能！）

图8

所以当12

上是穿过x轴单调递增，如图8，于是

12

综上，实数a的取值范围是-12，12.

评注（1）当ln12a-1>012

导数作为一种重要的解题工具，在处理高中数学的函数问题中有着不可替代的作用.但是如果考虑不周，往往会带来致命性的错误！本文归纳的4种利用导数判断函数f（x）是否穿过x轴单调递增或单调递减的策略，是高中数学的重点、难点，也是高考热点，同学们应熟练掌握并能灵活运用.