输油管布置问题的优化模型
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摘要：给出了2010年全国大学生数学建模竞赛C题的一种求解方法。分别针对C题提出的3个问题，建立了非线性规划模型，并运用Matlab软件包给出了模型的最优解。
1 问题的提出
本文讨论2010年高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题的解答，问题如下：某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法[1]。
问题1：针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
问题2： 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具置由图1所示，A厂位于郊区（图1的I区域），B厂位于城区（图1的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图1
所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用。
问题3：结合实际，根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.省略
A、B：铁路同侧的两家炼油厂。
C、D：A、B两家炼油厂在铁路上的投影点。
E：增建的车站。
P：共用管线和非共用管线的连接点。
Q：城区与非城区的的油管连接点。
S：输油管的总长。
F：输油管线的总费用。
：A炼油厂到铁路的垂直距离。
b: B炼油厂到铁路的垂直距离，且 。
C：A炼油厂到区域分界线的垂直距离。
: A、B两家炼油厂的投影点距离。
根据炼油厂及铁路线位置，建立如下的坐标：以铁路所在的直线为x轴，以C点为原点，AC所在直线为y轴。则管线的铺设方案可归结为平面几何问题。
3 模型的建立与求解
3.1 问题1的分析与求解
设车站点E的坐标为（ ，0），点P的坐标为（ ， ）， 如图2所示。
图2
为使所铺设管线尽量短，显然共用管线应垂直于铁路线。问题1也即确定点E、P的位置，使点P到A、B、E的距离之和最小。因此我们的问题可化为求解：
min
s．t．
这是一个二元函数的极值问题，求偏导得：
S = + ，S =1+ +
令 ， 得驻点： ，即为最小值点。
所以问题1的铺设方案：车站的位置坐标为E ，共用管线和非共用管线的连接点P ,由此可得管道铺设最省的总长度为 。
3.2 问题2的分析与求解
问题2相比较问题1多考虑了一个因素――拆迁和工程补偿等附加费用，这就导致了城区和郊区所铺设的每单位管线费用不相同。设 表示非城区每单位管线费用， 表示城区拆迁和工程补偿等附加费用。在问题1的基础上，在城区与郊区的临界线处增加一个变量Q ，问题2也可转化为：确定点E、P级Q，使得总铺设费用最小。不妨设车站位置E在非城区（如在城区可类似计算），则问题2可化为求解：
min
s．t．
具体情况如图3：
图3
这是一个非线性规划问题[2]，根据题目所提供的数据， ， ，代入模型，利用Matlab软件包[3]进行求解得：E（5.4494，0），P（5.4494 ，1.8538），
Q（15，7.3678）， 。
3.3 问题3的分析与求解
问题3针对炼油厂的生产能力，选用相适应的油管，设输送A厂成品油的管线铺设费用为 =5.6，输送B厂成品油的管线铺设费用为 =6.0，共用管线费用为 =7.2， 表示城区拆迁和工程补偿等附加费用。建立模型：
利用Matlab软件包进行求解得：E（0.3286，0），郊区与城区临界处坐标Q（15.0000，7.9861），相应的费用最省为 。
4 模型的评价
非线性规划模型具有成熟的理论基础，又有相应的专业软件支持，实用性强。模型经过多次修正，综合考虑了很多因素，从而给出最优方案，具有较大的参考价值。
参考文献
吴建国，《数学建模案例精编》，北京：中国水利水电出版社，2005。
姜启源，《数学模型》，北京：高等教育出版社，1987。
赵静，但琦，《数学建模与数学实验》，北京：高等教育出版社，2003。
A optimization model of the oil transmission pipeline
Li Hui-xuan，Wu Rui-yi
（Department of Public Teaching , Liming Vocational University , Quanzhou 362000 , China）
Abstract: The paper mainly puts forwards a solution to the problem Cof2010 China undergraduate MCM. Therefore, respectively concerning the three questions raised by the problem C of 2000 China undergraduate MCM, a nonlinear rogramming model was proposed, and MATLAB was used for the optimum solution of the model.
Keywords : nonlinear programming，pipe installation，optimization model
附件
问题1的程序：
a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5; %炼油厂位置及其附加费参数
x=fminunc('fun',[0 0 0]);
h=fun(x);
P=[x(1),x(2)],Q=[c,x(3)],h
A=[0,a];B=[l,b];X=[x(1),0];
plot([P(1),Q(1)],[P(2) Q(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),A(1)],[P(2),A(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),X(1)],[P(2),X(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([Q(1),B(1)],[Q(2),B(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([c,c],[0,9],'r--')
text(A(1),A(2)+0.3,'A'),text(B(1),B(2)+0.3,'B')
text(P(1),P(2)+0.3,'P'),text(Q(1),Q(2)+0.3,'Q')
function h=fun(x)
a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5;
h=x(2)+sqrt(x(1)^2+(x(2)-a)^2)+sqrt((x(1)-c)^2+(x(2)-x(3))^2)+k*sqrt((l-c)^2+(b-x(3))^2);
问题2的程序：
a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5; %炼油厂位置及其附加费参数
x=fminunc('fun2',[0 0 0]);
h=fun2(x);
P=[x(1),x(2)],Q=[c,x(3)],h
A=[0,a];B=[l,b];X=[x(1),0];
plot([P(1),Q(1)],[P(2) Q(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),A(1)],[P(2),A(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),X(1)],[P(2),X(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([Q(1),B(1)],[Q(2),B(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([c,c],[0,9],'r--')
text(A(1),A(2)+0.3,'A'),text(B(1),B(2)+0.3,'B')
text(P(1),P(2)+0.3,'P'),text(Q(1),Q(2)+0.3,'Q')
function h=fun2(x)
a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5;
h=7.2*x(2)+5.6*sqrt(x(1)^2+(x(2)-a)^2)+sqrt((x(1)-c)^2+6.0*(x(2)-x(3))^2)+k*sqrt((l-c)^2+(21.5+6)*(b-x(3))^2);
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。