探究幂函数的性质

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幂函数的核心重点是幂函数的图象和性质，因为它是幂函数的核心内容，也是高考命题的方向所在，突破的关键是理解幂函数的图象，通过图象能熟练地理解它们的性质，当然也包括幂函数的单调性和奇偶性。

一、幂函数的奇偶性

二、幂函数的图象及单调性

作幂函数的图象，首先由k确定图像是双曲线型（k

其次，做出幂函数y=x（p，q为互质的正整数）在第一象限内的图象。

[x][y][O 1][1][1][0

幂函数图象在第一象限的情况：

（1）图象必过（1，1）点

（2）>1时随着x的增大，函数图象向y轴方向延伸，在第一象限内是增函数。

（3）=1时图象是直线y=x。在第一象限内是增函数。

（4）0

（5）

最后，判断函数的奇偶性，由奇偶性确定图象所在的象限及各象限的单调性。

（1）若函数是非奇非偶函数，则图象只在第一象限内。

（2）若函数是奇函数，则图象在第一、三象限内且一、三象限内单调性相同。

（3）若函数是偶函数，则图象在第一、二象限内且一、二象限内单调性相反。

三、幂函数性质的应用

1.幂函数单调性、奇偶性的确定

例1.已知幂函数y=[x][m2-2m-3]（m∈Z）在（0，+∞）上是减函数，求y的解析式，并讨论单调性和奇偶性

解：由幂函数的图象与性质知m2-2m-3，得-1

当m=0时，y=x-3定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），此时函数在整个定义域上都是单调减函数，又（-x）-3=-（x）-3，故y-x-3是奇函数。

当m=1时，y=x-4定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），结合图象函数在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）单调递减，又（-x）-4=x-4，故y=x-4是偶函数。

当m=2时，y=x-3同m=0时的结论。

点评：准确掌握图象，灵活运用性质，并运用分类讨论的数学思想是解答本题的关键。

变式1：讨论函数f（x）=[x][]（x∈N*）的定义域、奇偶性和单调性。

解析：（1）因为m∈N*，所以m2+m=m（m+1）（m∈N*）是正偶数，所以m2+m+1是正奇数，所以函数f（x）的定义域为R

（2）因为m2+m+1是正奇数，所以f（-x）=[（-x）][]=-f（x）

所以f（x）在R上是奇函数。

（3）因为m2+m+1>0，所以>0，又m2+m+1是正奇数，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增。

点评：函数的性质是解决函数问题的基础，应掌握五个常用的幂函数：y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的性质。

2.如何利用幂函数的单调性解决比较大小的问题

例2.比较大小：1.20.5，1.20.6，0.51.2，0.61.2

解：因为0.5

因为0.5

所以，0.51.2

点评：前两个数用指数函数的单调性比较，后两个数用幂函数的单调性比较。指数函数和幂函数形式差不多，但图象和性质有很大的差别，在解题过程中要特别注意这种差别，这是非常容易忽略而导致出错的地方。

变式2：比较（-），（-0.7），1.1的大小。

解析：（-）=（），（-0.7）=（0.7），1.1=1.21

因为幂函数y=x在（0，+∞）单调递减，且0.7

所以，（0.7）>（）>1.21

所以，（-0.7）>（-）>1.1

点评：当幂指数不同时，可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小。

3.如何利用幂函数的单调性求解参数的范围

例3.已知（0.71.3）m

解：因为01所以0.71.3

又（0.71.3）m0

点评：因为两个数的指数相同，所以考虑用幂函数的单调性求解。

4.如何利用幂函数的单调性解不等式

例4.已知f（x）=x（n∈Z）的图象在[0，+∞）上单调递增，解不等式f（x2-x）

解：由题知>0解得-1

（1）当n=0或n=2时，f（x）=x所以f（x2-x）

（2）当n=1时，f（x）=x，所以f（x2-x）

x2-x>0

x+3>0

x2-x

点评：利用幂函数的单调性解不等式一般是要分类讨论的。因为这类题型一般是含有参数的，只有通过分类讨论才可确定函数为哪类幂函数，进而才可落实单调性。利用分类讨论思想时要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础。

幂函数是新课标新增加的内容，虽然幂函数的形式多种多样，图象和性质较为复杂，学习起来有一定的难度，但考试要求不是很高，只要掌握简单的5个幂函数的相关图象和性质，在考试中一般会以这些简单函数为载体，考查函数的有关问题。

（作者单位 甘肃省陇南市武都八一中学）