洛比达法则的运用技巧

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摘 要： 本文对洛比达法则的一般方法和技巧进行了归纳总结，以例题的形式说明在使用洛比达法则时的特殊技巧。

关键词： 洛比达法则 方法归纳 技巧

一、归纳起来，通常求未定型的步骤如下

1.考查所求极限是否为未定式，如不是未定式，则直接利用极限四则运算法则求得答案；如果是未定式，则变形为或型.

2.为了利用x0时的等价无穷小，当所求极限是xa时可作变换u=x-a，则把问题变成u0的形式（当x∞时，可用变换u=）.

3.对于型，把分子、分母乘积因子中无穷小量用x的等价无穷小代替.

4.检查表达式中是否有非零极限乘积因子，如果有则应将极限分为两个极限乘积，一个极限为确定值，再考虑余下的未定型.

5.如留下的未定型不能用前面的方法解决，则用洛比达法则使分子、分母的无穷小阶数降低.

6.继续上述过程，先用等价无穷小代替，再用洛比达法则，直至得到答案.

通过洛比达法则我们容易求得：

==0.==0，所以当x∞时，e趋于快于x，x趋于+∞又快于lnx.

通过多次使用洛比达法则知道x∞时，e快于x（a＞0），x又快于（lnx）（β＞0）.

所以xe=0，（lnx）=0，或者=0，等等.

二、洛比达法则求极限的几种方法

1.求解型极限的方法.

（1）利用因式分解或根式有理化消去零因子，再用连续函数的性质求极限.

（2）利用等价无穷小的替换性质求极限，注意加减时不能使用这种方法.

（3）直接使用洛比达法则.

（4）利用变量代换（根据极限不同的特点，选用合适的变量代换法，如令x=或x=）.

2.求解型极限的方法.

（1）直接使用洛比达法则.

（2）变量代换化为型.

3.求解∞―∞型极限的方法.

通过对式子的通分、根式有理化、变量代换等方法，转化为或型，再用一、二条中的方法.

4.求解0•∞型极限的方法.

同样转化为或型，再用洛比达法则.

5.求1解型极限的方法.

（1）用对数恒等变型e=e?圯e或e，再用洛比达法则.

（2）利用重要极限：=1，（1+）=e.

6.求解0或∞型极限的方法.

通过对数恒等式转化为或型，再用洛比达法则.

如果函数f（x）和g（x）满足：

（1）当xx时，f（x）和g（x）都是无穷小量（或都是无穷大量）；

（2）在x点的某个空心邻域内，f（x）和g（x）都是可导的，且g′（x）≠0；

（3）=A.则有=A.

在多数情形下，使用洛比达法则的解法比起初等解法简便得多，但要强调的是，对于较为复杂的不定式的极限计算问题，不要盲目地使用洛比达法则，而要注意配合使用无穷小代换法则等各种办法，才能使计算过程得到简化.

例1：求极限.

分析一：此极限属于型不定式，所以可对原式直接用洛比达法则.

原式=2

分析二：注意到当x0时，有sinxx.e-1x.因此，在使用洛比达法则的计算过程中配合使用无穷小代换法.即

原式==

=====

例2：求

分析一：为了计算方便起见，用e-1的等价无穷小x对其进行代换，则分母为x项，此时要把分子sinx在x=0点用麦克劳林公式展开到x项.即

sinx=x-+o（x）

故==+o（x）=

分析二：分母仍用（e-1）的等价无穷小代换，之后用洛比达法则.

=====.

分析三：对原式直接用洛比达法则.

参考文献：

［1］朱匀华，周健伟，胡建勋.数学分析的思想方法.中山大学出版社，1998.

［2］华东师范大学数学系.数学分析（上）（第四版）.高等教育出版社，2010.

［3］彭辉.高等数学同步辅导.新华出版社，2007.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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