一元一次不等式(组)与函数完美结合
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近年来各省市的中考题中，由一元一次不等式（组）与一次函数或二次函数相结合构成的方案问题，成为了命题热点.命题者之所以看中此类题目，除了考虑落实新课程标准之外，还有考查考生解决数学问题的缜密性、完整性等数学能力等.2011年版义务教育数学课程标准对一次函数的教学要求是“（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式.（2）会利用待定系数法确定一次函数的表达式.（3）能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式 y = kx + b （k≠0）探索并理解k>0和k
例1 （哈尔滨市2012年数学中考题） 同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元.
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
分析：第（1）小题根据费用可得等量关系为：购买3个足球和2个篮球共需310元；购买2个足球和5个篮球共需500元，显然设购买一个足球需x元，购买一个篮球需要y元.列二元一次方程组把相关数值代入较为简单.
第（2）小题不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过5720元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解.
解：（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得 3x+2y=310，
2x+5y=500.解得 x=50，
y=80.
所以购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元.
（2）设购买a个篮球，则购买（96-a）个足球.
80a+50（96-a）≤5720，
解得：a≤30213 .
因为a为整数，
所以最多可以购买30个篮球.
点评：此题利用二元一次方程组解决了第（1）小题，第（2）小题需要根据已知条件列一元一次不等式，注意当不等式的解不是整数时如何确定取值范围.考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解决本题的关键.
例2 （河南省2012年数学中考题）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套.经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元.
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买 A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的213，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？
分析：第（1）小题列一元一次方程或者列二元一次方程组问题都可以得到解决.根据购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，以及购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元，得出等式方程求出即可；第（2）小题利用要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的213，得出不等式组，求出a的值即可，再利用一次函数的增减性得出答案即可.
解：（1）设A型每套x元，则B型每套（x+40）元.
所以4x+5（x+40）=1820.
所以x=180，x+40=220.
即购买一套A型课桌凳需180元，购买一套B型课桌凳需220元；
（2）设购买A型课桌凳a套，则购买B型课桌凳（200-a）套.
根据题意可列不等式组为：
所以 a≤213（200-a），
180a+220（200-a）≤40880.
解得78≤a≤80.
因为a为整数，所以a=78、79、80.
所以共有3种方案，
设购买课桌凳总费用为y元，
则y=180a+220（200-a）=-40a+44000.
因为-40
所以当a=80时，总费用最低，此时200-a=120，
即总费用最低的方案是：购买A型80套，购买B型120套.
点评：此题同例1相比，在用一元一次方程完成了第（1）小题之后，完成第（2）小题时要利用不等式组确定a的取值范围，再由一次函数的增减性来求出最低费用.
例3（黑龙江省龙东地区2012年数学中考题）国务院总理2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区.现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资.已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表1：
运往地
车型 1甲 地（元/辆）1乙 地（元/辆）大货车17201800小货车15001650（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）.
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.
分析：第（1）小题设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共18辆，运输228吨物资，列方程组求解；
第（2）小题列表2.表21甲地需货车辆数1乙地需货车量数1合计大货车（辆）1a18-a18小货车（辆）19-a110-（9-a）110合计1919118设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8-a）辆，前往甲地的小货车为（9-a）辆，前往乙地的小货车为[10-（9-a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式；第（3）小题结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案.
解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得x+y=18，
16x+10y=228.解得x=8，
y=10.
答：大货车用8辆，小货车用10辆.
（2）w=720a+800（8-a）+500（9-a）+650[10-（9-a）]=70a+11550，所以w=70a+11550（0≤a≤8且为整数）
（3）16a+10（9-a）≥120，解得a≥5，又因为0≤a≤8，
所以5≤a≤8且为整数，
所以w=70a+11550，
k=70>0，w随a的增大而增大，
所以当a=5时，w最小，
最小值为w=70×5+11550=11900（元）
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地.最少运费为11900元.
点评：本题第（1）小题用列一元一次方程或者列二元一次方程组的方法就可使问题得以解决；第（2）小题需在第（1）小题求出大、小货车数量之后才能列式，画表格之后使问题一目了然；第（3）小题需结合第（2）小题所求出的一次函数解析式及题中所给条件列一元一次不等式结合一次函数的增减性来确定a值.
例4 （长沙市2012年数学中考题）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
y=40-x （25≤x≤30），
25-0.5x （30
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围.
分析：这是一道由一次函数、二次函数相结合的题目，问题情境把民生问题“节能减排、低碳经济”引导题目中，使之更具鲜明的时代特征，三个题目由浅入深、环环相扣，能从多方面考查学生解题能力.第（1）小题由单价定价28元，考虑28往两个已知一次函数哪一个代入，因为25≤28≤30，所以把28代入y=40-x即可求出该产品的年销售量为多少万件；第（2）小题