等腰分类,不重不漏

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解关于等腰三角形的问题时,常常会用到分类讨论的思想,不分类或分类不当都可能造成问题的错解或漏解,那么应该怎样对等腰三角形中的元素进行分类呢?还是一起来看几个例子吧!

例1已知等腰三角形的一个内角为50°,求其顶角的度数.

解析:50°的角可能是顶角,也可能是底角.

(1)当50°的角是底角时,顶角的度数为180°-50°×2=80°;

(2)当50°的角是顶角时,则该三角形的顶角为50°.

所以这个等腰三角形的顶角为80°或50°.

点评:条件中没有明确指出50°的角是顶角还是底角,所以应分类讨论.

例2已知等腰三角形的一边等于7,另一边等于10,求它的周长.

解析:已知条件中没有明确指出7和10哪个是腰长哪个是底边长,所以应分类讨论.

(1)当腰长是7时,则底边长是10,其周长是7+7+10=24;

(2)当腰长是10时,则底边长是7,其周长是10+10+7=27.

根据三角形三边关系定理,这两种情况都成立. 所以这个等腰三角形的周长是24或27.

点评: 在解底边和腰不相等的等腰三角形问题时,若条件中不能确定底边与腰,应在符合三角形三边关系的前提下进行分类讨论或先分类讨论,再根据三角形的三边关系进行取舍.

例3已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,求这个等腰三角形的各个角的度数.

解析:应分两种情况来讨论.

(1)当高位于等腰三角形的内部时,如图1.

由∠ACD=30°,∠ADC=90°,

得∠A=60°.

因为AB=AC,所以∠B=∠ACB=60°;

(2)当高位于等腰三角形的外部时,如图2.

由于∠DAB=30°,∠D=90°,所以∠DBA=60°,∠ABC=120°.

因为AB=BC,所以∠C=∠BAC=30°.

所以等腰三角形的各角为60°,60°,60°或120°,30°,30°.

例4数学课上,同学们在探究下面这个命题的正确性:顶角为36°的等腰三角形具有一种特性,即经过它某一顶点的一条直线可把它分为两个小等腰三角形.为此,请你解答下列问题.

(1)已知,如图3,在ABC中,AB=AC,∠A=36°,直线BD平分∠ABC交AC于点D.试说明:ABD与DBC都是等腰三角形;

(2)在证明了该命题后,小颖发现:下面两个等腰三角形(如图4、图5)也具有这种特性.请你在图4、图5中分别画出一条直线,把它们分成两个小等腰三角形,并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数;

(3)接着,小颖又发现:直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性,如:直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形.请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图,并在图中标出三角形各内角的度数.(说明:要求画出的两个三角形不相似,而且既不是等腰三角形也不是直角三角形.)

解析: (1) 在ABC中,AB=AC,

∠ABC=∠C.

∠A=36°,

∠ABC=∠C=72°.

BD平分∠ABC,∠1=∠2=36°.

∠3=∠1+∠A=72°.

∠1=∠A,∠3=∠C,

AD=BD,BD=BC,

ABD,DBC都是等腰三角形.

(2)当三角形是等腰直角三角形时,如图6;当三角形是三个内角分别为36°,36°,108°的等腰三角形时,如图7和图8.

(0°＜a＜45°,其中a≠30°,a≠36°.)

(0°＜a＜45°,其中a≠30°,a≠36°,且a≠180°/7.)

点评: 本题既是一道分类讨论题又是一道模拟探究题,可以考查同学们分类讨论的思想.