空间中某平面内轨迹的几种求法

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浙江台州初级中学 317000

摘要：探究空间中某平面内点的轨迹，往往需要兼备平面解析几何、立体几何两方面知识，同时还涉及空间向量等知识，综合度高，有利于发展人们的思维能力，很能体现解题者思维的层次性、深刻性、灵活性，因此此类题目频频现身于高考试卷中，备受命题者青睐. 本文将通过示例，对这类问题的求解方法作些探究与归纳.

关键词：点；轨迹；求法；探究

[⇩]定义法

例1如图1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P，动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）

[A][B][C][D][A1][D1][C1][B1][P]

图1

[A1][B1][P][A][B][A1][B1][P][A][B][A1][B1][P][A][B][A1][B1][P][A][B][AB][CD]

分析由于在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC侧面AB1，有CBPB，即PB就是动点P到直线BC的距离，于是侧面AB1内“到直线A1B1与直线BC的距离相等”的动点P，就是侧面AB1内“到（定）点B与到（定）直线A1B1的距离相等”的动点P. 所以，动点P的轨迹就是以点B为焦点，以直线A1B1为准线的抛物线. 显然点A及BB1的中点均因满足条件而在抛物线上，故选C.

[⇩]几何法

例2用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到的一条截口曲线是椭圆.

分析如图2，在圆柱内放两个大小相同的球，使得它们分别与圆柱的侧面、截面相切. 两个球与截面的切点分别记为E，F，在截口曲线上任意取一点A，过点A作圆柱的母线，分别与两个球相切于点C，B. 由球和圆的几何性质，可得AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC. 由切点B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值. 这样，截口曲线上任意点A到两个定点E，F的距离之和为常数.故截口曲线是椭圆.

至此，我们不难解释生活中相关的常识：

1. 如图3，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到的一条截口曲线是圆.改变平面与圆锥轴线的夹角，得到的截口曲线分别是椭圆、抛物线、双曲线.

图3

2. 下午，放在平地上的球的影子是椭圆，其中球与地面的接触点是焦点.

[⇩]常识法

例3（2008浙江）如图4，AB是平面α的斜线段，A为斜足.若点P在平面α内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）

[图4][B][A][P][α]

图4

A. 圆 B. 椭圆

C. 一条直线 D. 两条平行直线

分析若拿掉条件“点P∈α”，仅考虑满足“ABP的面积为定值”的点P的轨迹：由“SABP=AB・d且斜线段AB长度固定”得，点P到边AB所在直线的距离d为定值，故点P的轨迹是以AB所在直线为轴的圆柱. 添回条件“点P∈α”，点P的轨迹应是平面α与圆柱的交线，又AB是平面α的斜线，即平面α与圆柱的母线斜交，得到的一条截口曲线是椭圆.

[⇩]解析法

例4如图5，AB是平面α的一条平行线段，点P在平面α内，线段AP与AB所在直线成45°，试问点P的轨迹是什么曲线？

[A][B][P][α]

图5

分析过A，B分别作AO，BC垂直于平面α，垂足分别为O，C点. 因AB是平面α的一条平行线段，故有AO=BC，建立空间直角坐标系如图6，并设AB=l，AO=BC=h，则A（0，0，h），B（0，l，h）.

[A][B][C][O][P][x][y][z][α]

图6

设P（x，y，0），=（0，l，0），

=（x，y，－h）.

由・=

・

cos〈，〉，

且〈，〉=45°或135°，得ly=・l・

±，

化简整理得y2－x2=h2（z=0）. 所以点P的轨迹是双曲线.

此外，若拿掉条件“点P在平面α内”，仅考虑满足“线段AP与AB所在直线成45°”的点P的轨迹，则点P的轨迹是以AB为轴，A为顶点的（双向）圆锥. 添回条件“点P∈α”，则点P的轨迹应是圆锥与平面α的交线，由于平面α与圆锥的轴平行，所以这条截口曲线应该为双曲线.

例5a，b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段为MN，定长为l（大于MN，MN=2h）的线段AB的两端点A，B分别在a，b上滑动. 试求AB的中点P的轨迹.

分析过MN的中点O作直线c，d分别平行于a，b.

建立空间直角坐标系如图7，A（0，p，h），B（q，0，－h）. 设P（x，y，z），则x=，y=，z=0.

[M][z][A][P][y][N][B][b][x][a][O]

图7

由“线段AB长为定值l”得：q2+p2+（2h）2=l2，

故4x2+4y2+（2h）2=l2，即x2+y2=－h2（z=0）.

所以，AB中点P的轨迹为xOy平面上的圆.

那么，读者可以思考一下，线段AB的三等分点Q的轨迹又是什么呢？

例6（2008浙江）同例3.

分析建立空间直角坐标系如图8. 设A（0，0，0），B（0，b，c），P（x，y，0），=（0，b，c），=（x，y，0）.

[z][B][A][P][y][x][α]

图8

因SABP=・

・

sin〈，〉为定值s，

故s2=・（b2+c2）・（x2+y2）sin2〈，〉.

将cos〈，〉==代入上式，整理得

（b2+c2）x2+c2y2=4s2（z=0），其中b，c，s为常数.

所以，点P的轨迹是（xOy平面上的）椭圆.

这种探求点的轨迹的方式，其实质是用代数方法解决几何问题，俗称解析法，功效很大. 可以说，这是空间解析几何的雏形.

鉴于篇幅有限，这里仅给大家展示常见的定义法、几何法、常识法及解析法，以期引玉.

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