分清性质和判定,正确解答与证明

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平行线的性质是在“两直线平行”的条件下，得出“同位角相等或内错角相等或同旁内角互补”的结论，是由两直线的位置关系得出角的数量关系；而平行线的判定是在“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”的条件下，得出“两直线平行”的结论，是由角的数量关系得出两直线的位置关系.由此可见，两者的条件和结论正好相反，因此它们的作用明显不同，只有区分清楚，才能正确运用.

一、运用直线平行的性质

例1 如图1，已知CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝80°，则∠EDC＝____________.

分析：题中已知DE∥BC，运用平行线的性质可得到∠ACB＝∠AED＝80°.又由角平分线的定义可得∠BCD的度数，再利用平行线的性质得到∠EDC＝∠BCD，从而求得∠EDC 的度数.

解：DE∥BC，∠AED＝80°，∠ACB＝∠AED＝80°（两直线平行，同位角相等）.

点评：当题中已知直线平行时，要考虑运用平行线的性质得出角之间的关系.

二、运用直线平行的判定

例2 如图2，已知∠BAF＝40°，∠ACE＝130°，CDCE，试说明AB∥CD.

分析：要说明AB∥CD，根据平行线的判定方法，只要说明∠BAC＝∠ACD即可，而这由已知条件可以推出.

解：CDCE，∠DCE＝90°.

又∠ACE＋∠DCE＋∠ACD＝360°，∠ACE＝130°，

∠ACD＝360°－130°－90°＝140°.

∠BAF＝40°，∠BAC＝180°－∠BAF＝140°，∠BAC＝∠ACD， AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.

点评：当要说明两直线平行时，要考虑运用平行线的判定方法，结合图形得出与其相关的角之间的关系，从而推出两直线平行.此题也可延长DC，利用“同位角相等（或同旁内角互补），两直线平行”进行说明.

三、综合运用直线平行的性质和判定

例3 如图3，已知BE∥CF，∠ABE＝∠DCF，请你判断直线AB与CD是否平行，并说明理由.

分析：由角的位置不难看出，要判断AB与CD是否平行，只要说明∠ABC和∠BCD这对内错角是否相等.

解：AB∥CD.

理由如下：BE∥CF，∠EBC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）.

∠ABE＝∠DCF，∠ABE＋∠EBC=∠DCF＋∠BCF，即∠ABC＝∠BCD， AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.

点评：本题解题过程的实质是“由线定角”和“由角定线”这两个基本过程的综合，解题时要结合图形认真分析已知条件，正确运用平行线的性质与判定.