辨析平行线的条件与性质

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平行线的条件及性质是学习几何知识的基础，初学这部分内容时，常常由于内容的相似出现混淆错用的现象，今天王老师就带领大家一起走进“平行线”，细致辨析平行线的条件及性质，以期达到不犯错误或少犯错误的目的.

一、 明确“三线八角”这一前提

平行线的条件与性质都依托于“两条直线被第三条直线所截”（三线八角）这一基本图形，因此要掌握平行线条件及性质，必须先弄清楚图1：直线AB、CD被第三条直线EF所截，形成“三线八角”.

同位角：相同位置的两个角. 如∠1与∠5分别在交点的左上方，位置相同，所以∠1与∠5是同位角；同理：∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.

内错角：在两条直线内部，被截线错开的两个角. 如∠3与∠5在AB与CD两条直线的内部，被截线EF错开，所以∠3与∠5是内错角；同理：∠4与∠6也是内错角.

同旁内角：在两条直线内部，且在截线同一边的两个角. 如∠3与∠6在AB与CD两条直线的内部，且在截线EF的同一边，则∠3与∠6是同旁内角；同理：∠4与∠5也是同旁内角.

例1 （课本第7页练一练1改编）

如图2所示，∠1的同位角有________，

∠1的内错角有

___________，

∠1的同旁内角有

_________.

【解析】∠1的两边分别是线段DF与BC，若形成“三线八角”，可以抽象出以下图形：

通过以上图形可以很清楚地发现：在图3中∠C是∠1的同位角；图4中∠EDF是∠1的内错角；图5中∠ADF是∠1的内错角，此时若DF是截线，则∠BDF是∠1的同旁内角，若BC是截线，则∠B是∠1的同旁内角.

二、 分清条件与性质的本质区别

何谓条件？一般地说，图形满足这一内容，即可肯定它是什么样的图形，叫做图形的判别条件. 如：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么直线平行. 同样，内错角相等、同旁内角互补都是判定两条直线平行的条件. 这其中同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是“前提”，两直线平行是“结论”. 通过以上分析得出：平行线的判定条件是通过角的数量关系得到两直线平行的位置关系，可以形象地用图6表示：

例2 （2013・湖南永州）如图7，下列条件中能判断l1∥l2的是（ ）.

A. ∠1=∠2

B. ∠1=∠5

C. ∠1+∠3=180°

D. ∠3=∠5

【解析】本题考查了平行线的判定条件，要判断l1∥l2，首先我们确定截线，若截线为l3，则图中∠1与∠3是同旁内角，它们互补即∠1+∠3=180°时l1∥l2，所以C选项正确，又因为∠3=∠5，所以∠1+∠5=180°也可以证明l1∥l2；若截线为l4，图中∠2与∠4是同旁内角，∠2+∠4=180°时也可判断l1∥l2.

何谓性质？某个图形所具有的特征就是图形的性质. 例如：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 这就是平行线的一条性质. 同样，我们还可以得到另外两条性质：内错角相等、同旁内角互补. 这其中两条直线平行是“前提”，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是“结论”. 通过以上分析得出：平行线的性质是由两直线平行的位置关系得到角之间的数量关系，可以形象地用图8表示：

例3 （2013・湖北十堰）如图9，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，则∠B等于（ ）.

A. 18° B. 36° C. 45° D. 54°

【解析】由两直线平行内错角相等可知，因为AB∥CD，所以∠B=∠BCD，又因为CE平分∠BCD，所以∠BCD=2∠DCE=36°，所以∠B=36°.

基于以上分析可以看出平行线的判定条件和性质看起来差不多，实际上却有着本质的区别，判定条件是由角的关系得到平行，而性质是由平行得到角的关系，实际它们之间是互逆的，可以形象地用图10表示为：

为了方便使用可以简单概括为：要证平行用条件，已知平行用性质.

三、 灵活运用平行线的条件及性质

在运用平行线的条件及性质证明同一问题时，经常会出现前一步的结论会变成后一步的原因，对这种因果变化，做题时应注意灵活应对，做到以不变应万变.

例4 （2013・湖北孝感）如图11，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（ ）.

A. 120° B. 130°

C. 140° D. 40°

【解析】如图12，因为∠1=∠2，所以a∥b（同位角相等，两直线平行），这是判定平行的条件的应用.

因为a∥b，所以∠3=∠5=40°（两直线平行，同位角相等），这是平行线的性质的应用.

又因为∠4+∠5=180°，所以∠4=140°.

这道题目体现了平行线条件与性质紧密联系，第一步推出的结论a∥b，成了第二步证明的原因.

例5 （苏科版数学教材七年级下册第40页第6题改编）如图13，点D、E分别在AB、BC上，AF∥BC，∠1=∠2，∠3= 60°，求∠ADE的大小.

【解析】因为AF∥BC，所以∠2=∠C，理由是两直线平行内错角相等；

又因为∠1=∠2，所以∠1=∠C，所以DE∥AC，理由是同位角相等两直线平行；

所以∠3+∠ADE=180°，因为∠3=60°，所以∠ADE=120°，理由是两直线平行同旁内角互补.

这个题目很好地反映了平行线的判定条件与性质既有着本质的区别，也有着密切的联系.

（作者单位：青岛市崂山区第三中学）