浅埋盾构隧道地基弹簧刚度的求解方法

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摘要：把浅埋盾构隧道简化为半无限平面的挖孔问题，采用平面弹性理论的复变函数方法，推导了反应位移法中浅埋盾构隧道地基弹簧刚度的解析公式。设定不同的埋深和土体泊松比，计算了隧道周边的压缩和剪切地基弹簧刚度，讨论了隧道埋深和土体泊松比对刚度的影响，以及压缩和剪切地基弹簧刚度的关系。结果表明：浅埋隧道与深埋隧道的地基弹簧刚度存在差异；隧道埋深和土体泊松比对地基弹簧刚度的大小和分布规律影响很大；浅埋隧道的剪切与压缩地基弹簧刚度之比沿隧道周边变化。

关键词：盾构隧道；复变函数；地基弹簧刚度；反应位移法

中图分类号：TU311.4文献标志码：A文章编号：16744764（2013）06002805

20世纪70年代，日本学者提出了盾构隧道抗震设计的反应位移法[1]。该法需要计算隧道周围的地基弹簧刚度，并且地基弹簧刚度值的变化对隧道结构内力有很大影响[23]，然而地基弹簧刚度的求解至今未有满意的成果，因此研究地基弹簧刚度的求解显得十分重要。

地基弹簧刚度的求解有3种方法：理论推导、试验测得、数值计算[4]。其中后2种方法费时费力，而理论推导一般会得到解析或半解析公式，使用简单、快捷，因此大量学者在理论推导方面开展了大量研究[5]。理论推导大都简化为弹性理论的无限平面或半无限平面中挖孔的边界求解问题，但以前的研究要么不是针对反应位移法、要么就是不考虑隧道的埋深[69]。Verruijt[5]提出了利用复变函数理论求解半无限平面的圆孔问题，可以给出特殊边界条件的应力场和位移场，但没有给出地基弹簧刚度的解析公式。本文在Verruijt研究成果的基础上，利用复变函数理论，给出求解浅埋盾构隧道的径向压缩和剪切地基弹簧刚度的解析公式，并讨论二者的关系。1问题的描述

盾构隧道的反应位移法的地基弹簧分为压缩弹簧和剪切弹簧，其刚度的求解一般根据局部变形理论，利用一点上的力除以该力引起的变形得到。在弹性理论中，就是求解隧道周边应力边界条件下的应力场和位移场，然后得到弹簧刚度。深埋隧道的问题可简化为无限平面中的挖孔问题，浅埋隧道则可简化为半无限平面中的挖孔问题。其中，压缩弹簧刚度可通过隧道周边径向应力q边界条件得到，剪切弹簧刚度可通过隧道周边切向应力τ边界条件得到，如图1。

可以看出：深埋时，隧道地基弹簧沿周边均匀分布；当rh值较小时（例如≤0.01），基本上跟深埋情况类似。随着rh的增大，即系数α逐渐增大，隧道埋深逐渐减小，隧道的地基弹簧沿周边分布发生变化；隧道顶部弹簧刚度比深埋时变小，底部弹簧刚度比深埋时变大，这是由于埋深的减小造成隧道孔周变形发生变化造成的。从隧道顶部到底部压缩弹簧刚度先变小后变大，剪切弹簧刚度逐渐变大（除了埋深很浅的情况）。弹簧刚度最大值一般出现在隧道底部，压缩弹簧刚度的最大值可达深埋时的1.5倍，剪切弹簧刚度的最大值可达深埋时的1.2倍；压缩弹簧最小值一般出现在正负60°处，最小可达深埋时的0.1倍，剪切弹簧最小值一般出现在顶部，最小可达深埋时的0.4倍。泊松比越大，地基弹簧刚度最大值越小，说明土质条件越差，地基弹簧刚度越小。

为了讨论某点处剪切弹簧刚度和压缩弹簧刚度的关系，可以把剪切弹簧刚度和压缩弹簧刚度相除，得到的关系如图5。

从图5可看出：深埋时，地基弹簧的剪切刚度和压缩刚度相等。浅埋时，地基弹簧的剪切刚度和压缩刚度不总是相等；靠近隧道顶部和底部的区域，剪切刚度小于压缩刚度，其余区域情况相反。除了埋深较小的情况（例如rh≥0.6），剪切刚度与压缩刚度相差都在50%以内。土体泊松比对剪切与压缩地基弹簧刚度比的影响不大。

5结论

通过保角映射把无限半平面的挖孔问题转变为ζ平面的环域问题，利用复变函数的理论，推导出浅埋隧道的地基弹簧刚度的解析公式，并得出以下结论：

1）浅埋隧道的地基弹簧刚度相当于在深埋隧道地基弹簧刚度上乘以一个系数，沿隧道周边的分布不再均匀。

2）随着隧道埋深逐渐减小，隧道顶部弹簧刚度比深埋时变小，底部弹簧刚度比深埋时变大；泊松比越大，地基弹簧刚度最大值越小。

3）浅埋隧道剪切与压缩地基弹簧刚度不总是相等。

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