反证法在高中数学中的运用

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摘要：反证法是间接证明的一种重要方法，被人们誉为"数学家最精良的一种武器"。本文系统地介绍了反证法的定义和原理，例举了它在高中数学几何、代数中的运用，为高中师生掌握反证法提供帮助。

关键词：反证法；数学；证明

【中图分类号】G633.6

1 引言

公元前六世纪中期的古希腊七贤之首--泰勒斯最早引入了数学证明的思想，公元前三世纪的古希腊数学家欧几里德第一个最广泛、最娴熟地运用了数学证明，我国数学家江泽函则指出："没有数学证明，就没有数学"。反证法是数学证明中的一种间接证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。欧几里德证明"素数有无穷多"、欧多克斯证明"两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方"、"鸽子原理"和"最优化原理"的证明等都用了反证法。但是由于在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍，学生对反证法原理的理解和恰当地运用也存在不少的问题，故本文在此"抛砖引玉"。

2 反证法内涵

2.1 什么是反证法

法国数学家阿达玛说过："反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。"即先假设命题中结论的反面成立，结合已知的定理条件，进行正确的推理、论证，得出和命题中的题设或前面学习过的定义、公理、定理、已知的事实相矛盾，或自相矛盾的结果，从而断定命题结论的反面不可能成立，因而断定命题中的结论成立，这种证明的方法就叫做反证法。

2.2 反证法的原理

2.2.1 矛盾律

矛盾律是亚里士多德的形式逻辑的基本规律之一，其基本内容是：在同一个论证过程中，对同一对象的两个相矛盾的、对立的判断，其中至少有一个是假的，它的公式是：不是。如对""这个对象，"是有理数"和"是无理数"的两个判断中至少有一个是假的。

2.2.2 排中律

排中律是形式逻辑的由一个基本规律，其基本内容是：在同一个论证过程，对同一对象的肯定判断和否定判断。这两个相矛盾的判断必有一个是真的，它的公式是：或者是或者是，排除了第三种情况的可能，在数学论证中常根据排中律进行推理。如要证明"是有理数"，只要证明"不是有理数"不真就够了。这是因为"不是有理数"和"是有理数"是对象的两个相矛盾的判断，根据排中律，其中必有一个是真的。

2.3 运用反证法证明论题的步骤

运用反证法证明数学命题""，首先，必须弄清楚命题的条件和结论，然后按以下步骤进行论证：

第一步：否定命题的结论，作出与相矛盾的判断，得到新的命题；

第二步：由出发，利用适当的定义、定理、公理进行正确的演绎推理，引出矛盾结果；

第三步：断定产生矛盾的原因，在于判断不真，从而否定，肯定原结论成立，间接证明了原命题。

分析上述三个步骤可以发现，运用反证法的关键在于由新的论题演绎出一对矛盾，一般为推出的结果与某一定义、定理、公理、已知条件、所作题断矛盾，或是推出两个相互矛盾的结果。

值得注意的是在运用反证法证明命题时要认真细致地审题，若发现与论题结论相矛盾方面有不止一种情况，必须予以一一否定。且有时并非全部运用反证法，它可能只在证明过程中部分地出现。

3 反证法在证明论题中的运用

反证法是重要的证明方法，在几何、代数等领域都有广泛的运用，现分类举例说明。

3.1 反证法在几何中的运用

3.2 反证法在代数中的运用

4 结语

由上可知，用反证法证明一些问题时，有着其它方法所不能替代的作用。师生在了解了反证法的特点、证明过程及应用"须知"后，加强训练、不断总结，就能熟练地运用了。

参考文献：

[1] 杜永中.反证法[M].四川：四川教育出版社，1989：20.

[2] 黄志宁.谈谈反证法[J].福建商业高等专科学校学报，2000，20（4）：24-25.

[3] 王晓东.谈数学中"反证法"的应用[J].数学通报，2007，46（8）：60.

[4] 颜长安.反证法初探[J]. 数学通讯，2001，22（13）：22-24.