平面向量与三角综合题的解题策略与导学功能

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摘要:本文从四个方面论述了平面向量与三角综合题的解题策略与导学功能.

关键词:向量积;导学功能;思维功能;发现功能

由于三角函数的知识与平面向量的平行、垂直、数量积、求值,求向量模长,求向量的不等式,角的三角函数值,角的大小,判定三角形的形状,三角函数的极值、存在性问题,求函数表达式等问题联系在一起,故可将三角知识作为工具,且大有用武之地.

解求值问题,用数量积的策略,训练学生运用三角公式的思维功能

所谓思维功能,从认知心理学看,就是通过解题来训练学生的数学思维. 而数学思维是人脑对数学对象的信息加工过程. 所谓“策略”一词最初的意思是诡计或欺骗,后来演变为描述军队中用计谋取胜的将军. 数学解题思维策略是在解题之前确定的总体思路与谋略,是带原则性的思维方法,是主体认知的思维决策选择.

例1设a,b,c分别是ABC三个内角∠A,∠B,∠C的对边,已知向量m=1-cos(A+B),cos,n=,cos且m•n=.

(1)求tanAtanB的值;

(2)当A=B时,求的值.

解析(1)由m•n=向量数量积条件的坐标化得[1-cos(A+B)]+cos2=,即[1-cos(A+B)]+=,亦即4cos(A-B)=5cos(A+B),推出tanAtanB=.

(2)因为A=B?圯tanA=tanB=,所以tanC=tan(π-2A)=-=-.

又因为==tanC?圯的最大值为-.

三角公式只有运用才能掌握. 如例1第(2)问中的诱导公式、倍角的正切公式、商的公式、余弦定理的变形成了解题的关键. 在(1)中向量的数量积公式、和(差)角的余弦公式、降幂公式只有在运用时才能被激活.

求数量积、向量模长以及函数用以上二者表示的表达式,培养学生发现功能

例2 已知向量a=cos,sin,b=cos,-sin,x∈0,.

(1)求a•b及a+b;

(2)求函数f(x)=a•b-4a+b的最小值.

解析(1)向量数量积a•b=cos,sincos,-sin=cos•cos-sinsin=cos2x,

a+b2=a2+b2+2ab=cos2+sin2+cos2+sin2+2cos2x=2+2cos2x=4cos2x.因为x∈0,,所以a+b=2cosx.

(2)f(x)=a•b-4a+b=cos2x-4×2cosx=2(cosx-2)2-9. 因为x∈0,,所以cosx∈[0,1]. 当cosx=1时,f(x)取得最小值2×(-1)2-9=-7.

“发现法”是美国教育学家、心理学家布鲁纳首先提出的. 他说:“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物,确切地说,它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方法.” 其实函数既用数量积表示,又用向量的绝对值表示就是新的发现. 使学生在思维过程中既有新的探索,又产生新的理解,获得新发现. a•b=cos2x与a+b=2cosx,即两向量的数量积与这两向量的和的模长的实质都是数.

用向量法既判定存在性又判定三角形的形状,用类比策略,训练学生追求美妙、神奇的功能

“类比就是一种相似”. 它是从一种特殊到另一种特殊的推理.

以研究性学习为园地,以类比联想为工具,以归纳发现为手段,以先猜后论的数学思想为指导. 正如英国心理学家培英说:“创造发明都是由类似联想引起的”,这时我们自然得出以下猜想――“类比就是相似比较”. 联想是一种既有目的又有方向的想象,是由当前感知或思考的问题想起其他事物的心理活动. 所谓类比联想,就是以类比为方法、以联想为导向的探求规律和探索解题思路的策略.

波兰数学家斯•巴拿赫说:“一个人是数学家,那是因为他善于发现判断之间的类似;如果能判明论证之间的类似,他就是一个优秀的数学家;可是,我认为还应当有这样的数学家,他能够洞察类似之间的类似.” 类比、 联想前面例1的解题策略,下面例3也就会解了.

例3已知A,B是ABC的两个内角,a=cosi+sinj(其中i,j是两个互相垂直的单位向量),a=.

(1)试问tanA•tanB是否为定值,若是定值,请求出,否则说明理由;

(2)求tanC的最大值,并判定此时三角形的形状.

解析(1)把a2=的向量条件坐标化,2cos2+sin2=?圯cos(A+B)+1+=,推出(因为这里i, j是两个互相垂直的单位向量,故它们的数量积为零)

2cos(A+B)=cos(A-B)?圯cosAcosB=3sinAsinB得tanAtanB=.

(2)由tanAtanB=得tanA>0,tanB>0,tan(A+B)===(tanA+tanB)≥×2,推出tan(A+B)≥3=,当tan(A+B)=时,tanA=tanB=?圯tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)≤-,所以tanC的最大值是-,此时A=B=30°?圯ABC是等腰三角形.

由此可见,“类比是伟大的引路人”, 而联想是解决问题的关键.

数学美就是数学的优美感. 庞加莱说:“数学的优美感,不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足感,正因为这种适应性,这个解答可能成为我们的一种工具,所以这种美学上的满足感是和思维、结构紧密相关的.”

首先看到例1与例3的笫(1)问的推导完全是类比的,它们是和谐的. 所谓和谐美既是解题中条件与结论的和谐,又是数与形的和谐,更是解题方法与思维策略的和谐,还是数学思想与思维途径的和谐.然后也看到它们之间的方法美,所谓方法美是指解答(或证明) 复杂的数学问题时,体现出来的美妙之处使心灵感到一种愉快的惊奇. 联想是以观察为基础,以想象为翅膀,以记忆为保证,以思维为核心的思维方法. 数学教学中的联想可分为类比联想、可逆联想、对比联想、化归联想、数形联想、因果联想、特殊化和普遍化联想. 例3的第(2)问用均值不等式求解,既体现了策略的奇异美,又体现了复杂问题的简单解法的奇异美. 所谓奇异美是数学美的基本形式之一. 徐利治教授说:“奇异是一种美,奇异到极度更是一种美.” 对于内行来说,奇异是使人感到“既在情理之中,又在意料之外”的感觉. 前者和谐,后者奇特.

用向量证垂直、平行、求夹角,用转化策略,训练学生的抽象思维功能

所谓转化策略是数学思想策略中最主要、最重要、最普遍的一种化归策略.

例4已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O为原点, α∈(0,π).

(1)若tanα=-1,求证:∥.

(2)若sin2α=-,求证:.

(3)若+=,且α∈(0,π),求,这两向量的夹角.

解析(1)tanα=-1?圯sinα+cosα=0?圯3sinα+3cosα=0. 另一方面A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O为原点,则=(cosα,sinα),=(-3,3),推出3cosα+3sinα=0. 故∥.

(2)因为sin2α=-?圯1+sin2α=?圯(sinα+cosα)2=,推出sinα+cosα=?圯1-3(cosα+sinα)=0,(cosα-3)cosα+sinα•(sinα-3)=0,推出.

(3)因为+=(3+cosα,sinα),所以(3+cosα)2+sin2α=13. 所以cosα=. 因为α∈(0,π),α=?圯sinα=,故求出了C点的坐标为,?圯•=(0,3)•,=. 设,这两向量的夹角为θ,则cosθ===?圯θ=30°.

利用向量的坐标运算来表示向量的模、夹角,其好处是将向量的几何特征转化为代数(三角)特征,使运算过程代数化、三角化、程序化,以训练学生抽象的逻辑思维. 抽象的逻辑思维是要遵循严密的逻辑规律,逐步推导,最后获得符合逻辑的正确答案和合理的结论. 在例4的条件下tanα=-1,它与∥是可以互相转化的;同样sin2α=-与也是可以互相转化的. 通过严格的抽象逻辑思维,三角与平面向量和谐统一.

综上所述,首先三角与平面向量的综合题既有数学思维功能,又有发现功能,还有美学功能,更有训练抽象的逻辑思维的功能. 其次,我们把这种三角知识居多的综合题叫做“三角的歌的平面向量唱法”,或者把平面向量知识居多的综合题叫做“平面向量的歌的三角唱法”. 这种题型的设计对学生进入大学以后可以起到“承上启下”的衔接作用. 第三,这种题型使得平面向量运用的多样性向空间向量延伸,使三角知识的应用更为广泛,从而拓宽了学生的思维空间.

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