“割”、“补”法求二次函数图象中面积最大值

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中考试卷与二次函数相关的压轴题经常要求面积的最大值，其求解的基本方法是“割”、“补”法.下面举例说明：

一、“割”

例1 如图1，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，-5）和（-2，4）.

（1）求这条抛物线的解析式.

（2）设此抛物线与直线 y=x 相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于 y 轴的直线 x=m（0＜m＜5+1）与抛物线交于点M，与直线 y=x 交于点N，交 x 轴于点P，求线段MN的长（用含 m 的代数式表示）.

（3）在条件（2）的情况下， 连接OM、BM，是否存在 m 的值，使BOM的面积S最大？若存在，请求出 m 的值，若不存在，请说明理由.

解：（1）y=x2-2x-4.

（2）MN=-m2+3m+4.

（3）分析：因为OMB的三边中没有边在坐标轴上（或与坐标轴平行），所以可以考虑把OMB“割”成OMN和BMN（MN∥y 轴），因为OMN和BMN的边MN上的高之和是一定的，所以MN为底，OMB的面积可求.

因为SBOM=SOMN+SBMN

=12MN・OP+12MN・BC

=12MN（OP+BC）

=-12（-m2+3m+4）（m+4-m）

=-2m2+6m+8.

当 m=-6-4=32时，SBOM有最大值为252.

例2 如图2，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）.

（1）求点B的坐标；

（2）若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；

（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：因为四边形OABC的边OA在 x 轴上，所以可以考虑把四边形OABC“割”成OCD、梯形CDGB、GAB，只要分别求出OCD、梯形CDGB、GAB的面积，即可求出四边形OABC的面积.

解：因为SOCD=12OD・CD=12mn，

S梯形CDGB=12（CD+BG）・DG

=12（n+32）・（32-m），

SGAB=12GA・GB=12×12×32，

所以S四边形OABC=12mn-12mn+3n4+338-3m4+38=3n4-3m4+32.

因为点C（m，n）在抛物线

y=-233x2+433x 上，

所以 n=-233m2+433m.

所以S四边形OABC

=34（-233 m2+433m）-3m4+32

=-32m2+334m+32.

所以当 m=34时，S四边形OABC有最大值为25332.此时点C的坐标为（34，538）.

评注：当所求面积的图形有边在坐标轴上时，通常用“割”的方法，如例2中的四边形OABC有边OA在 x 轴上，四边形OABC被CD、BG（CD、BG都与 y 轴平行）“割”成OCD、梯形CDGB、GAB；当所求面积的图形没有边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，也可以用“割”的方法，使“割”后图形有边在坐标轴上（或与坐标轴平行），如例1中OMB被MN（MN与 y 轴平行）“割”成OMN和BMN.

二、“补”

例3 如图3，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）

解：（1）B（1，3）.

（2）y=33x2+233x.

（3）C（-1，33）.

（4）分析：作BGx 轴，PFy 轴交BG于点F，把APB“补”成四边形APFB后再“割”为梯形APFG、AGB即可求出SAPB.当然也可以用“割”的方法求SAPB.

过点B作BGx 轴、过点P作PFy 轴交BG于点F，设P（m，n），

因为S梯形APFG=12（PF+AG）・GF

=12［（1-m）+3］・（-n）

=12（4-m）・（-n）

=-2n+12mn，

SAGB=12AG・BG

=12×3×3=332，

SPFB=12PF・BF

=12（1-m）（3-n）

=32-n2-3m2+mn2，

SAPB=S四边形APFB-SPFB

=S梯形APFG+SAGB-SPFB

=-2n+12mn+332-32+n2+3m2-mn2

=-3n2+3m2+3.

因为点P（m，n）在抛物线 y=33x2+233x 上，所以

n=33m2+233m，

所以SAPB=-32m2-32m+3.

所以当 m=-12时，SAPB有最大值为938.此时点P的坐标为（-12，-34）.

例4 已知如图4，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，将AOC沿AC翻折得到APC，

（1）填空：∠PCO=度，P点坐标为；

（2）若P，A两点在抛物线 y=-43x2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点C在此抛物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）∠PCO=120°,点P的坐标为（32，32）.

（2）b=3，c=1，抛物线为 y=-43x2+3x+1，易证点C（0，1）在此抛物线上.

（3）分析：直接求四边形MCAP的面积，显然不好求.通过“割”的方法也比较繁.倒不如把四边形MCAP与OCA“补”成五边形MCOAP，然后再把五边形MCOAP“割”成易求面积的梯形COEM、梯形MEDP、PDA，即可简捷地求解四边形MCAP的面积.

设M（m，n），因为S梯形COEM

=12（CO+EM）・OE

=12（1+n）・m

=12m+12mn，

S梯形MEDP=12（ME+PD）・DE

=12（n+32）（32-m）

=34n-12mn-34m+338，

所以S四边形MCAP=S五边形MCOAP-SCOA=S梯形COEM+S梯形MEDP+SPDA-SCOA

=（12m+12mn）+（34n-12mn-34m+338）+338-32

=34n-m4+34.

因为点M（m，n）在抛物线 y=-43x2+3x+1上，

所以 n=-43m2+3m+1.

所以S四边形MCAP=34（-43m2+3m+1）-m4+34=-33m2+12m+32.

所以当 m=34时，S四边形MCAP有最大值为9316.此时点M的坐标为（34，32）.

评注：当所求面积的图形没有边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，除用“割”的方法外，还可以用“补”的方法，使“补”后的图形有边在坐标轴上（或与坐标轴平行），然后再用“割”的方法分别求“割”后的图形的面积，如例3中把APB先“补”成四边形APFB后再“割”为梯形APFG、AGB；例4中把四边形MCAP先“补”成五边形MCOAP，然后再把五边形MCOAP“割”成易求面积的梯形COEM、梯形MEDP、PDA.

（初三）

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