聚焦中考方程与函数题

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一、方程综合题

1.方程(组)解的应用

例1已知x=2,y=1是二元一次方程组mx+ny=8,nx-my=1的解,则2m-n的算术平方根为( ).

A.4B.2C.D.±2

解析:本题可以直接根据方程组解的定义,把解代到方程组中,得到关于m,n的方程组,解出m,n的值即可.把x=2,y=1代入二元一次方程组,得2m+n=8,2n-m=1,解得m=3,n=2.所以2m-n=4,4的算术平方根为2,故选B.

点拨:方程(组)的解是使方程成立的未知数的值,只要把它们代入方程(组),就可以得到新的方程(组),然后再确定所求字母(或式子)的值.

2.与不等式结合

例2君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品,该机械厂由甲车间生产A种产品,乙车间生产B种产品,两车间同时生产.甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件,甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同.

(1)求甲车间每天生产多少件A种产品?乙车间每天生产多少件B种产品?

(2)君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元,B种产品的出厂价为每件180元.现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件,君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天,若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15 000元而不超过15 080元.请你通过计算为青扬公司设计购买方案.

解析:本题第(1)问可以直接列一元一次方程解决,第(2)问借助不等式组能使问题解决,要注意的是君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天这一限制条件.(1)设乙车间每天生产x件B种产品,则甲车间每天生产(x+2)件A种产品,由题意得3(x+2)=4x,解得x=6,x+2=8.(2)设青杨公司购买B种产品m件,则购买A种产品(80-m)件,则15 000

点拨:凡是涉及到方案的问题,一般都要用到不等式,求出一个范围,最终根据题目的条件决定出方案.

3.方程与概率结合

例3端午节前,第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干,放入不透明的盒中,此时随机取出火腿粽子的概率为;妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少,第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中,这时随机取出火腿粽子的概率为.

(1)请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只?

(2)若妈妈从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后,再让小亮从盒中不放回任取2只,问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少?(用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子,用列表法计算.)

解析:本题巧妙地将实际生活的现象转化为数学问题,我们可以根据题意设第一次爸爸买的火腿粽子x只,豆沙粽子y只,由概率的意义,则有=,=,整理得y=2x,y=x+4,解得x=4,y=8.

(2)在妈妈买过之后,盒中有火腿粽子9只和豆沙粽子9只.从盒中取出火腿粽子4只,豆沙粽子6只送爷爷奶奶后,盒中还有火腿粽子5只和豆沙粽子3只,最后小亮任取2只,恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是=.

可能的情况列表如下:(记豆沙粽子a、b、c,火腿粽子1、2、3、4、5)

点拨:将概率与方程巧妙的结合,然后再求概率,可谓是此题的独到之处.

4.连续增长(或降低)型

例4随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计,2007年底全市汽车拥有量为150万辆,而截止到2009年底,全市的汽车拥有量已达216万辆.

(1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率;

(2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计,从2010年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.

解析:对于连续增长(或降低)问题,可以套用公式a(1±x)2=b.(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意得150(1+x)2=216,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).所以该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.

(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为216×90%+y万辆,2011年底全市的汽车拥有量为(216×90%+y)×90%+y万辆.根据题意得(216×90%+y)×90%+y≤231.96,解得y≤30.所以该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆.

二、函数综合题

5.函数图像问题

例5王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛,她周末到新华书店购买资料.如图1是王芳离家的距离与时间的函数图像.若黑点表示王芳家的位置,则王芳走的路线可能是().

解析:本题是由函数的图像确定行走路线的问题.根据图像我们可以看出:王芳去与回来用的时间大约相等,而有一段时间到家的距离是相等的,可以看成是在书店里选资料.而A、D不能反映出有一段时间到家的距离是相等的,C则没有反映出她回家,故选B.

点拨:读懂函数图像是解题的关键.

6.一次函数与反比例函数结合

例6如图2,正比例函数y=x的图像与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图像交于A点,过 A点作x轴的垂线,垂足为M,已知OAM的面积为1.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)如果B为反比例函数在第一象限图像上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.

解析:由图像可知,只要求出A点的坐标,就可以得到反比例函数的解析式,而求A点的坐标可以根据OAM的面积等于1;由于A,B在x轴的同一边,所以作出这两点任一点关于x轴的对称点,再连接对称点与另一点与x轴的交点就是所求的P点.

(1) 设点A的坐标为(a,b),则b=.ab=k.ab=1,k=1,k=2,反比例函数的解析式为y=.

(2)由y=,y=x得,x=2,y=1.A为(2,1),设A点关于x轴的对称点为C,则C点的坐标为(2,-1),令直线BC的解析式为y=mx+n.B点的坐标为(1,2),2=m+n,-1=2m+n,m=-3,n=5.

BC的解析式为y=-3x+5. 当y=0时,x=.

P点为(,0).

点拨:求反比例函数的解析式只要有一个点即可,关键是准确地找出该点的坐标;求一条线上的点到该线同一旁两点距离最小时,通常需作对称点,借助两点之间线段最短来求解.

7.二次函数的综合应用

例7 如图3所示,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为y=-x+

3,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E.

(1)求A、B、C3个点的坐标.

(2)点P为线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN、BM、MN.

①求证:AN=BM.

②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值.

解析:本题在解决时首先要弄清题意,最好是画出草图,以便把每一问逐个解出.第(1)问只要把二次函数转化为一元二次方程以及求出对称轴就可以解决;而第(2)问则要利用三角函数得到ABC为等边三角形,再由三角形全等证出AN=BM,最后把所求面积的表达式转化为二次函数,从而决定最值.

(1)设-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3.A(-1,0),B(3,0) .

y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,抛物线的对称轴为直线x=1,将x=1代入y=-x+3,得y=2.

C(1,2).

(2)①在RtACE中,tan∠CAE==.

∠CAE=60°.

由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线,AC=BC,ABC为等边三角形,

AB=BC=AC =4,∠ABC=∠ACB=60°,

又AM=AP,BN=BP,BN = CM,

ABN≌BCM, AN=BM.

②四边形AMNB的面积有最小值.

设AP=m,四边形AMNB的面积为S,

由①可知AB=BC=4,BN=CM=BP,SABC=×42=4,CM=BN= BP=4-m,CN=m,

过M作MFBC,垂足为F,则MF=MCsin60°=(4-m),

SCMN=CN×MF=m×(4-m)=

-m2+m,

S=SABC-SCMN=4-(-m2+m)= (m-2)2+3 .

m=2时,S取得最小值3.

点拨:本题综合考查了二次函数转化为一元二次方程、二次函数的对称轴、三角函数、全等三角形、以及图形的分割问题.从而形成一个解题的行动序列,有效地、灵活地解决问题.更要注意的是,题目信息与不同数学知识的结合,可能会形成多个解题方向,选取其中简捷的路径,就能得到题目的最优解法.