二项分布的易错点分析

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二项分布是一种重要的概率模型，是初学的一个难点，解答二项分布的相关问题时，常出现的有以下两个错误：

易错点一 理解随机变量“[X=k]”表示的意义错误

例1 一袋子中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数[ξ]是一个随机变量，求[ξ=12]的概率.

错解1 由题意知道这是一个“12次独立重复试验中恰好有10次发生”的概率问题.由二项分布的概率知识有[P（ξ=12）=C1012（38）10?（58）2].

错解2 [P（ξ=12）]指前11次独立重复试验恰好有9次发生且第12次必须发生的概率，由二项分布的概率知识有[P（ξ=12）=C912（38）10?（58）2×1].

分析 错解1包含了第12次抽到白球的可能，这是不符合题意的；错解2误认为第12次有百分百取到红球这一事件发生，这也是不可能的.

正解1 记事件[A]为“取到红球”，则[A]为“取到白球”，[P（A）=38，P（A）=58].

[ξ=12]表示事件[A]在前11次试验中恰好有9次发生且在第12次试验中也发生，故

[P（ξ=12）=C911（38）9?（58）2×38=C911（38）10?（58）2].

正解2 第12次取到红球的取法有3种，前11次有放回地抽取恰好有9次取到红球，取法有[C911×39×52]种，故满足条件的取法总数为[C911×39×52×3]种，另外，有放回地从袋子中抽取12次球的所有可能结果是812种，故

[P（ξ=12）=C911×39×52×3812=C911（38）10?（58）2].

点拨 解决本题的关键是正确理解[ξ=12]的意义.

易错点二 分不清问题是否为独立重复试验

例2 假定人在一年365天的任意一天出生的概率是一样的，某班级有50名学生，其中有两个以上的学生生于元旦的概率是多少？（结果保留四位小数）

错解 由于每个人在每天出生的概率是[1365]，一个人在365天内的生日相当于做了365次独立重复试验，设50个人中生于元旦的人数为[X]，则

[P（X=0）=C0365（1365）0?（364365）50]，

[P（X=1）=C1365（1365）1?（364365）49]，

所以“两人以上生于元旦”的概率为

[P（X2）=1-P（X=0）-P（X=1）]

[=1-C0365（1365）0?（364365）50-C1365（1365）1?（364365）49.]

分析 上述错误没有弄清楚问题是否是独立重复试验，每次试验指的是什么.由于每个人在一年中生于元旦的概率为[1365]，50名学生的生日相当于进行50次试验，各次互不影响，从而是独立重复试验问题.

正解 由题意，记“一个的生日是元旦”为事件[A]，要研究50个人的生日，则相当于进行50次试验. 显然每人的生日是随机的，互不影响的，所以属于50次独立重复试验，[P（A）=1365]. 设50个人中生于元旦的人数为[X]，则

[P（X=0）=C050（1365）0?（364365）50]，

[P（X=1）=C150（1365）1?（364365）49].

则“两人以上生于元旦”的概率为

[P（X2）=1-P（X=0）-P（X=1）]

[=1-C050（1365）0?（364365）50-C150（1365）1?（364365）49≈]0.0084.

点拨 要善于从具体问题中抽象出独立重复试验的模型，并明确[n]是多少、事件[A]是什么、其发生的概率是多少等问题.