透析重难点 强化不等式

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不等式是高中数学的重要内容，它可以渗透到高中数学的很多章节，是解决其他数学问题的有利工具． 另外，不等式在实际问题中的广泛应用，决定了它是常考不衰的典型问题． 近两年新课标区高考试题中的不等式，都是有关绝对值不等式的问题，题目难度一般不大，主要出现在选择题与填空题中；而非课标区则多涉及不等式的性质、均值不等式的应用、二次不等式的解法及应用、不等式的综合应用等，还常与函数、数列、导数等知识相结合．

一、不等式的概念与性质

重难点剖析不等式的性质应熟练掌握，这主要依靠平时多加练习． 解题时一定要弄清条件和结论，寻求条件和结论之间的联系，特别要注意性质成立的条件． 例如：在用传递性时，如果两个不等式中有一个不带等号，那么等号是传递不下去的；可乘性则要注意符号是否使不等号的方向改变．

例1已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）

A． a2＜b2 B． a2b＜ab2

C． ＜ D． ＜

简析因为a，b为非零实数，所以a2b2＞0，于是＞0，不等式a＜b两边同时乘，得＜，故选C．

点评应用不等式性质时，要注意“单向性”和“双向性”两方面，不要弱化了条件，也不要强化了条件，否则很容易得出错误结论．单向性主要用于证明不等式（不能用于解不等式）；双向性是解不等式及求参数范围的基础（当然也可以用于证明不等式）．

二、不等式的证明与求解

重难点剖析证明不等式的方法灵活多样，比较法、综合法、分析法是证明不等式的基本方法． 依据题设的结构特点和内在联系，选择适当的证明方法（要熟悉各种证法中的推理思维并掌握相应的步骤）． 解不等式主要运用转化思想：超越不等式转化为代数不等式，无理不等式转化为有理不等式等．

例2已知函数f（x）=x2++alnx（x>0）．对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：当a≤0时，>f

．

证明=（x＋x）＋＋＋（lnx1＋lnx2）=（x＋x）＋＋aln． f

=

＋＋aln，而（x＋x）＞・［（x＋x）＋2x1x2］=

，①

又（x1+x2）2=（x＋x）＋2x1x2＞4x1x2，所以＞.②

因为＜，所以ln＜ln． 因为a≤0，所以aln≥aln.③

由①②③得＋＋ aln＞

＋＋aln，即>f

．

点评在证明不等式时，放缩法是基本的方法，而均值不等式不仅在证明不等式时常见，在解不等式、求最值等问题中更是频繁出现． 在使用重要不等式时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以顺利使用重要不等式．

三、不等式的实际应用

重难点剖析这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用均值不等式求函数的最值时，“正数”“定值”“相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．

例3对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（清洁度=1－）为0．8，要求洗完后的清洁度是0．99． 有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗． 该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3）．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是（x>a－1），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c（0.8

（Ⅰ）分别求出方案甲及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；

（Ⅱ）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量的影响．

简析（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有=0.99，解得x=19；由c=0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程=0.99，解得y=4a，故z=4a+3；即两种方案的用水量分别为19与4a+3，因为当1≤a≤3时，x－z=4（4－a）>0，即x>z，故方案乙的用水量较少．

（Ⅱ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（Ⅰ）得x=，y=a（99－100c），于是x+y=+a（99－100c）=+100a・（1－c）－a－1，当a为定值时，x+y≥ 2－a－1=－a+ 4－1，当且仅当=100a（1－c）时等号成立，此时c=1+（不合题意，舍去）或c=1－∈（0．8，0．99）. 将c=1－代入x=，y=a（99－100c），得x= 2－1>a－1，y=2－a，故c=1－时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为2－1与2－a，最少总用水量是T（a）= －a+4－1. 当1≤a≤3时，T ′（a）=－1>0，故T（a）是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）． 这说明，随着a值的增加，最少总用水量增加．

点评应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式知识求解． 不等式的应用大致分为两类：一类是建立不等式求参数取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系式，利用均值不等式求最值问题．

四、不等式与其他知识

重难点剖析不等式的综合问题一般是难度较大的题目． 主要考查函数与不等式结合，求参数的取值范围（恒成立问题），同时还考查不等式与导数、向量、数列、解析几何等知识结合的问题． 要求同学们在熟练掌握基础知识的前提下，注重函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想方法的灵活应用，加强综合运用所学知识分析及解决问题的能力．

例4已知m，n为正整数，求证：

（Ⅰ）当x＞－1时，（1＋x）m≥1＋mx（用数学归纳法）；

（Ⅱ）对于n≥6，已知

简析（Ⅰ）用数学归纳法证明：

（i）当m＝1时，原不等式成立；当m＝2时，左边＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；（ii）假设当m＝k时，不等式成立，即（1＋x）k≥1＋kx，则当m＝k＋1时，因为x＞ －1，所以1＋x＞0，于是在不等式（1＋x）k≥1＋kx两边同乘以1＋x得（1＋x）k（1＋x）≥（1＋kx）（1＋x）＝1＋（k＋1）x＋kx2≥1＋（k＋1）x，所以（1＋x）k+1≥1＋（k＋1）x，即当m＝k＋1时，不等式也成立． 综合（i）（ii）知，对一切正整数m，不等式都成立．

（Ⅱ）当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得

点评本题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能以及分析问题和推理论证的能力． 在利用数学归纳法与放缩法证明与正整数n有关且出现和式（或积式）的不等式时，一定要克服“放缩”的随意性．