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在圆周运动的动力学问题中,经常会遇见各种各样与转盘有关的圆周运动问题,笔者对此进行了概括、总结,以供参考.
一、 物体随盘一起转
图1
例1如图1所示.把质量为0.6 kg的物体A放在水平转盘上,A的重心到转盘中心O点的距离为0.2 m,若A与转盘间的最大静摩擦力为3 N,g=10 m/s2,求:
(1)转盘绕中心O以ω = 2 rad / s的角速度旋转,A相对转盘静止时,转盘对A摩擦力的大小、方向.
(2)为使物体A相对转盘静止,转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围.
解(1)物体A随转盘做圆周运动的向心力由转盘给它的静摩擦提供,故:
Ff=mrω2=0.6×0.2×22 N=0.48 N,
方向沿半径指向圆心.
(2)当物体相对转盘将要滑动时,物体与转盘间的静摩擦达到最大值Ffm=3 N.设此时转盘的角速度为ωm,则:
所以转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围是
二、细线连物系于轴
例2如图2所示.水平转盘上放有质量为m的物体,当物块到转轴的距离为r时,连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零).物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的μ倍.求:
(1)当转盘的角速度ω1=
(2)当转盘的角速度ω2=
解设物体相对转盘将要滑动时,转盘的角速度为ω0,此时物体与转盘间的静摩擦力达到最大值Ffm=μmg,而绳子上张力仍为零.故
(1)由于ω1=μg2r
μgr,所以绳子上的张力为零.
(2)由于ω1=μg2r>ω0=μgr,所以有
FT2 +μmg=mr22,
得FT2=mrω22-μmg=mr×3μg2r-μmg=12μmg.
三、 弹簧连物系于轴
例3如图3所示.一质量为m的物块与弹簧相连,弹簧的另一端固定在圆盘的转轴上,圆盘静止时,物块到转轴的距离等于弹簧的原长L,已知弹簧的劲度系数为k,物块与转盘间的动摩擦因数为μ,当圆盘以某一角速度转动时,物块与转轴间的距离变为54L,求转盘转动的角速度多大?
解设转盘转动的角速度为ω,根据题意可知
14kL+μmg=m×54Lω2,
解得 ω=kL+4μmg5mL.
四、两物相连一置心
例4如图4所示.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动,质量分别为M和m的两物体用一根长为l的轻绳连在一起(绳长小于圆盘的半径),两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为μ,若将M置于转轴位置处,两物体间的细绳刚好沿半径方向拉直,若使两物体与转盘之间不发生相对滑动,则转盘转动的角速度最大不得超过多少?
解设两物体将要相对转盘发生滑动时,细绳上的拉力为FT,对物体m有
根据以上两式可以看出,转盘转动的角速度ω越大,细绳上的拉力FT越大,物体M与转盘之间的静摩擦力Ff越大,当物体M与转盘之间的静摩擦力Ff达到最大时,两物体将相对转盘开始滑动,有
Ff=μMg.
由以上各式解得 ω=μ(M+m)gmL.
五、两物相连置同侧
例5如图5所示.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动,质量分别为M和m的两物体用一根长为l的轻绳连在一起(绳长小于圆盘的半径),两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为μ,若将两物体间细绳拉直后,沿圆盘半径方向将他们置于转盘上,物体m距转轴为r,要使两物体与转盘之间不发生相对滑动,则转盘转动的角速度最大不得超过多少?
解对物体M有
FT+μMg=M(r+l)ω2,
对物体m有
Ff-FT=mrω2.
根据以上两式可以看出,转盘转动的角速度ω越大,细绳上的拉力FT越大,物体m与转盘之间的静摩擦力Ff越大,当物体m与转盘之间的静摩擦力Ff达到最大时,两物体将相对转盘开始滑动,有
Ff=μmg.
由以上三式解得 ω=μ(m+M)gmr+M(r+l).
六、 两物相连置异侧
例6如图6所示.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动,质量分别为M和m(M>m)的两物体,用一根长为l的轻绳连在一起(绳长小于圆盘的直径),两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为μ,若将两物体间细绳拉直后,沿圆盘直径方向将他们置于转轴两侧,物体m距转轴13l,要使两物体与转盘之间不发生相对滑动,则转盘转动的角速度最大不得超过多少?
解细绳上刚有拉力时,对物体M有
FT+μMg=23lMω2.
对物体m有
Ff+FT=13lmω2.
根据以上两式可以看出,转盘转动的角速度 ω越大,细绳上的拉力FT越大,物体m与转盘之间的静摩擦力Ff先逐渐减小变为零,然后沿半径向外逐渐增大,当物体m与转盘之间的静摩擦力Ff达到最大时,两物体将相对转盘开始滑动,这时物体m满足的方程为
FT-μmg=13lmω2.
根据第一和第三式解得
ω=3μ(m+M)g(2M-m)l
.
七、 两物相连线穿心
例7细绳一端系着质量M=8 kg的物体静止在水平面,另一端通过光滑小孔吊着质量m=2 kg的物体,M的中点与圆孔的距离r=0.2 m,已知M与水平面间的动摩擦因数为0.2,现使此物体M随转台绕中心轴转动,问转台角速度ω在什么范围m会处于静止状态?(g=10 m/s2)
解当物体M所受的摩擦力沿半径向里时,有mg+μMg=Mrω21.
解得
mg+μMgMr2=20+0.2×808×0.22=152rad/s.
当物体M所受的摩擦力沿半径向外时,有
mg-μMg=Mrω22.
解得
mg-μMgMr2=20-0.2×808×0.22=52rad/s.
故转台角速度ω的范围为
52 rad/s≤ω≤52 rad / s.
以上总结难免挂一漏万,如有不妥,请同行批评指正.