随机自相似测度的量子化维数和它的分布之间的关系

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摘要： 文章主要讨论了随机自相似集K（ω）上的随机自相似测度μ的量子维数，建立了μ的量子维数和它的分布之间的关系，并且给出了这个公式的一个简单应用。

Abstract： We study the quantization dimension of random self-similar measure μ supported on the random self-similar set K（ω）， establish a relationship between the quantization dimension of μ and its distribution， and then give a simple application of this formula.

关键词： 随机自相似集；随机自相似测度；量子维数

Key words： random self-similar set；random measure；quantization dimension

中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）06-0226-02

0 引言

近年来，量子化维数的研究有了很多新的进展。从文献[1]第十五章中对统计自相似集Hausdorff维数的研究得到启发，我们研究随机自相似集上一个质量分布的量子化维数。主要研究支撑在随机自相似集上的概率测度的量子化维数，得到了此概率测度的量子化维数公式。

量子理论中两个重要方面是量子系数和量子维数。

设μ是■d上的概率测度，0

Vn，r（μ）=inf■■x-a■dμ（x）：？坠∈■■，card（？坠）？燮n（1）

使上述定义中（1）式成立的？坠∈■■，其中card（？坠）？燮n，我们称为r级测度μ的n最优集，用Cn，r（μ）来表示。定义n级测度μ的上、下量子维数为：Dr（μ）=■■，Dr（μ）=■■。

如果Dr（μ）=Dr（μ）=Dr（μ），我们称Dr（μ）为n级测度μ的量子维数。

1 概念和标记

设（Ω，E，P）是一完备概率空间，（E，P）是一波兰空间，？资（E）是E上所有豪斯道夫距离为η的非空紧集的集合，即：η（K，L）=sup{ρ（x，L），ρ（K，y）：x∈K，y∈L}，其中K，L∈？资（E）。显然，（？资（E），η）也是波兰空间。对函数f：EE，Lip（f）为f的李卜希兹系数（见文献[3]定义1.1）。con（E）：={f：Lip（f）

设N为自然数且N？叟2，定义■={1，2，…，N}为一指标集，■={（i1，i2，…，ik）：ij∈■；1？燮j？燮k}，■■={（i1，i2，…）：ij∈■；j∈N}，■：={？}，■：=∪k？叟0■。对于σ=（σ1，…，σk）∈■，称k为σ的长度，用σ来表示。对任一σ∈■∪E∞，σ？叟k，记σ│k=（σ1，…，σk）。如果σ，τ∈■且σ？燮τ，σ=τ│σ，则称σ是τ的一个前趋。如果σ，τ既不满足σ？刍τ也不满足τ？刍σ，则称σ与τ不可比较。有限集ρ∈■称为有限反链，如果ρ中任两个词σ与τ不可比较。ρ称为最大限反链，如果■中任一σ在ρ都有前趋，对于k？叟2，σ=（σ1，…，σk）∈■，i∈■，定义：σ-：=σ│k-1，σ・i=（σ1，…，σk，i）。

定义1.1：设{f1，…，fN}？奂con（Ω，E），K（ω，ω1，…，ωN）∈M（ΩN+1，？资（E）），称K（ω，ω1，…，ωN）为一随机自相似集（R.S.S.S.）：如果存在集Ω0，p（Ω0）=1使得对所有（ω，ω1，…，ωN）∈ΩN+1：K（ω，ω1，…，ωN）=■■（K（ωi，ω1，…，ωN）），简便起见记K（ω，ω1，…，ωN）=K（ω）。

注1.1：如果R.S.S.S. K（ω，ω1，…，ωN）不依赖（ω，ω1，…，ωN），则■E■p■l■（ω）■■=1就是文献[2]中定义的自相似集。

设E=[0，1]d，记fσ（ω）=■（ω）■f■■■…■f■■。lσ（ω）=Lip（fσ（ω））=■Lip（f■■），这里（ω，ω1，…，ωN）∈Ω0N+1，σ=（σ1，…，σk）∈■，ω■=ω，pσ=p■…p■，Eσ=fσ（E），EN+1表示pN+1的期望算子。

概率向量（p1，…，pN）的随机自相似测度μ定义为：{f1，…，fN}？奂con（Ω，E）■d■d上的随机向量，压缩系数为Lip（fi）（i∈■），其分布为（p1，…，pN），则μ（・）=■piμ（（fi（ω））-1（・）），（ω，ω1，…，ωN）∈Ω0N+1，则K（ω）=suppμ是{f1，…，fN}吸引子。另外，对σ∈■，我们定义：

■■（σ）：=p■l■（ω）■，h■（σ）：=E■■■（σ），（ω，ω1，…，ωN）∈Ω0N+1。这里序列■■（σ）是单调的，所以随机变量■■（σ）当k∞时以概率1收敛到随机变量■■（σ）且有EN+1■■（σ）=EN+1■■■（σ）=■EN+1■■k（σ）=■■■（σ）。

令l=min■，对每个n？叟1，我们定义

？祝n：=σ∈■：h（σ■）？叟■>h（σ）（2）

集？祝n对于量子维数的计算起重要作用，这里我们引用Graf和Luschy论文的关于自相似分布的量子中？祝n的定义。根据l的定义，对每个n∈N，集？祝n是非空有限的，对每个n，？祝n是有限最大反链。

2 主要定理

定理1 设κ（ω）是随机自相似集，{f1，…，fN}？奂con（Ω，E）满足SSC，μ是支撑在K（ω）上的随机自相似测度，其分布为（p1，…，pN）。对r∈（0，+∞）存在确定的Dr满足下式：

■E■p■Lipf■（ω）r■=1（3）

则以概率1成立Dr（μ）=Dr（μ）=Dr（μ）。

3 例子应用

随机康托集：E=[0，1]，Ti（t）=ct+■，（i=0，1，2），Ω=（（T0，T1），（T0，T2），（T1，T2）），P（（Ti，Tj））=■，（f■■，f■■）=（T■，T■），πi是con（E）2到con（E）上的第i个坐标算子，

F（Ti）=i，？祝n（ω）={F（π1（ω）），F（π1（ω））}n，（n？叟1，ω∈Ω）。Kc（ω）：=■ ■ ■■■■…■T■■（E） （ω∈Ω，σ=（σ1，σ2，…），σi∈{0，1，2}）。我们称Kc（ω）随机康托集。设c是在区间0，■均匀分布的随机变量，μ是支撑在Kc（ω）上的随机自相似测度，其对应的概率向量为■，■，则由定理1我们可得：

1=2（E■cr）■

=2■3・■c■dc■

=2■■

我们可以用图1来说明r和Dr之间的关系。

参考文献：

[1]Graf， S.， Luschgy， H. The quantization dimension of self-similar probabilities， Math. Nachr 2002，241：103-109.

[2]Bucklew， J. A.， Wise， G. L.， Multidimensional asymptotic quantization with rth power distortion measures. IEEE Trans. Inform. Theory，1982.

[3]Hu Dihe， Probability properties and fractal properties of statistically recursive sets. Science in China （Series A） 2001，44（6）： 742-761.