第七招:草船借箭

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乍看不起眼的“运算”是不少同学的“弱项”,运算错误则是试卷上的“硬伤”.多年解题经验告诉我们:运算的基本要求是“算则对”,发展要求是“少算且对”,最高境界是“不算而对”.如何在“算对”的基础上“少算”甚至“不算”?且看“算对有招”之――

《推理与证明》单独成章进入新教材后,类比推理题成了近年高考命题的热点与亮点. 碰到类比题,我们的“招数”是剖析范例的本质,汲取其中的“营养”并将其移植到未知问题的推理上――是谓“草船借箭”.

例1如图1所示,在平面直角坐标系xOy中,设ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)为线段OA上一点(异于端点),a,b,c,p均为非零常数.设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.某同学已正确求得直线OE的方程:-x+-y=0.请你完成直线OF的方程:()x+-y=0.

常规解法: 易知直线CP的斜率为-,由点斜式可得其方程为y=-•x+p(①).由截距式可得直线AB的方程为+=1 (②).联立①②,消去y,可求得交点F的横坐标xF==;代入①式,得yF=-•+p=. 直线OF的斜率k==,直线OF的方程为y=x. 化简得:-x+-y=0,故空格处应填的式子为-.

“草船借箭”: 点E,F形成的过程类似――直线BP,CP分别与边AC,AB的交点,“借”此估计直线OF与直线OE的方程应该类似,这从它们的方程中y前面的系数相同也可以得到佐证.由此推测直线方程中x的系数也应相似,形式可能是-.出于这个考虑,干脆把直线CP的方程化为+=1 (③),③-②即可得到类似直线OE方程的形式:-x+-y=0 (④).我们发现(0,0)满足④式,故该直线经过原点O;又F为直线CP与AB的交点,故F必满足④式,因此④式即为直线OF的方程!故空格处应填入-.

评析: 常规解法没有充分发挥直线OE方程的“榜样”作用,而是“另起炉灶”,运算烦杂冗长,极易出错.“草船借箭”有效对照、利用了所给直线OE的方程与需填空的方程的结构特点,迅速得解.

例2若数列{an｝(n∈N*)为等差数列,则数列bn=(n∈N*)也是等差数列.类比上述性质,若数列{cn｝(n∈N*)为等比数列且cn>0,则dn=

(n∈N*)也是等比数列.

“草船借箭”:是dn=,还是dn=或dn=?初步断定c1,c2,…,cn之间必然是“相乘”的关系,但“n”应扮演什么角色?这需要剖析数列{bn｝中“除以n”的实质.因为等差数列{an｝前n项和Sn=n2+a1-n,其形如An2+Bn;除以n,则bn=An+B,故{bn｝成等差数列. 据此判断对c1•c2•…•cn“除以 n”显然不行.等比数列的各项中,公比q的次数依次成等差数列,故c1•c2•…•cn中,q的幂指数相加,其和也将形如An2+Bn;要使得{dn｝成等比数列,公比q′的次数仍应成等差数列,故需对形如An2+Bn的幂指数“除以n”.幂指数“除以n”,实际上是对原数“开n次方”,故dn=.

“草船借箭”出招要旨: 本招应用的关键在于明确要借的“箭”是什么.通常而言,一是借鉴范例的外在结构特点,这需要“粗看”与“细看”,观察其运算结构、系数、项数、次数等.如例1中,“粗看”式子结构是x+y=0,“细看”系数的结构是-.二是借鉴范例所蕴涵的内在机理,这需要“浅探”与“深探”,挖掘得出结论所用的性质、方法等. 如例2中,“浅探”得出c1,c2,…,cn“必须相乘”,“深探”得出“开n次方”.

“草船借箭”不仅可用于解决类比推理的问题,还提示同学们在解题中要善于应用和借鉴已有经验解决新问题,这是本招的深层意义所在.