椭圆定义的推导

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心理学理论认为：知识的获得是一种学生主动的认知活动，学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的参与者。人本主义教育观认为：成长的可能性是学生与生俱有的，而教育最重要，最根本的目的即在于将这种可能性转化为现实，培养学生成为“完整的人”。

在解析几何中，圆锥曲线是这块内容中的重点、难点和考点。根据教材的安排，双曲线、抛物线的定义和性质的给出都是类比于椭圆的定义、性质。因此，椭圆的定义、标准方程、性质的教学是这一内容的重中之重，而标准方程又是根据椭圆的定义得出，所以椭圆的定义推出显得至关重要。现把这一教学片段展示如下：

师：在生活中，哪些事物是呈椭圆形的。

生1：鸡蛋，橄榄球……

还有个别学生2：没有画圆的圆。

师：（微笑）大家说的都很对，椭圆是一个很美的图形，我想大家看了下面的几个场景就有此感觉了。（演示课件：花卉的瓣，倒影在水面上的拱桥，美国白宫，地球运动轨迹等）

（黑板上书写课题：椭圆定义及其标准方程）

师：椭圆的形状很美，它在生活中应用很广泛，从上面我们可以看到它用在建筑、天文学上，因此我们很有必要对椭圆进行研究。我们看到椭圆的形状是一个压扁了的圆，那我们一起回忆圆的定义。

生3：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。

师：我们是怎样画圆的呢？同学们画画看。

（课前教师要求学生每人准备一块硬纸板，并发给每一位学生两颗图钉几颗及一根定长细绳子）

生：（动手画圆）

师：“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点P到定点O的来回距离之和为常数的点的轨迹。”行不行。

生：（齐声地）行

师：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？

生：（动手画椭圆）

师：（现场用几何画板制作课件：作椭圆）

师：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这个曲线，而且还在生活中找到了它的应用，下面我们能否根据上面圆的定义给出椭圆的定义？

生4：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。

（教师在黑板上写出学生总结的椭圆定义）

师：很好，善于类比。

（教师拿起两个学生所画的椭圆展示）

同学们画椭圆时，线段长是事先给你们的，并且是一样长，为什么我们所画的椭圆不一样，有扁有圆呢？

生5：这于两定点F1、F2的位置有关。

师：很好

我们改变一下F1、F2的位置，大家再画一画，看一看到底有何关系？

生6：F1、F2位置越近椭圆越圆，F1、F2越远椭圆越扁。

师：这位同学观察的很仔细，总结的非常好。

如果我们不改变F1、F2的位置，只改变线段长，大家画一画它们又有什么联系？

生7：定线段越小椭圆越扁，定线段越长椭圆越圆。

师：答的非常好。

设|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，如何通过a、c刻画椭圆扁圆程度。

（课堂上顿时安静，学生陷入思考、讨论）

生8顿悟：当c/a越小时，椭圆越圆，当c/a越大时，椭圆越扁。

师：还有不同的意见吗？他的结论对吗？

（教室中又陷入讨论、不敢肯定）

师：实践是检验真理的唯一标准，我们可以去画一画。

（学生检验后，发现是正确）

生：正确

师：以上我们讨论了椭圆的定义，知道了椭圆与两定点位置以及定线段长有关。给定了线段长，两定点位置就真的一定能作出椭圆吗？大家讨论以下，这里有没有条件限制。

生：（动手实验，讨论，总结）

师：（演示课件：展示2a>2c，2a=2c，2a

根据我们动手实验、课件展示，以及讨论，大家进一步总结定义。

生9：（1）当2a>2c时，轨迹是椭圆。

（2）当2a=2c时，轨迹是一条线段，是以F1、F2为端点的线段。

（3）当2a

（4）当c=0时，轨迹为圆。

师：下面同学们再看看椭圆的定义，有无补充。

生10：椭圆是平面上到两定点F1、F2的距离之和2a为常数的动点的轨迹，其中2a>|F1F2|>0.

师：（黑板上用彩色粉笔写上：其中2a>|F1F2|>0）

设计意图：

（1）采用感性导入法用课件展示图片的，由点及面，由感性到理性，符合学生认识的思维路线，易激起兴趣和学习动机。

（2）创设问题情境在学生的“最近发展区”中设计问题，所设计的问题面向全体，使学生的思维一直处于亢奋状态，使每一位学生都积极参与思维活动，体现以学生为主体的新理念。

（3）培养动手能力培养动手实践能力是现行教育中的一个弱点，在新课标别指出研究性学习的重要性，而培养动手实践能力是研究性学习中的所要培养的能力之一。通过画椭圆检验，线段定长、两定点时椭圆的圆扁程度。

（4）培养探索能力教育家布鲁纳说过：“探索是数学教学的生命线。”探索是创造的起步，学生的创造力不可能一蹴而就，只有引导他们学会探索，才能使学生的创造力得到有效的培养。

对此堂课进行了反思，我认为本案例成功之处在于：

（1）将传统教学媒体与现代教学媒体有机结合在一起，促进了学生学习的积极性和主动性，即将工具画图和课件展示有机结合。

（2）用多媒体的形象性和生动性解决难点。

课堂教学中若能恰当地运用多媒体，就能化抽象为具体，化无声为有声，有利于对教材内容的理解、深化，落实知识点。实践证明，运用CAI手段，使学生从数学抽象描述中产生立体感知形象，唤起他们的想象思维，加深对知识的理解，同时有利于观察力、想象力、思维力的培养。在给椭圆定义补充时，就是用课件展示2a>2c，2a=2c，2a

（3）体现课堂中学生的主体地位及教师的主导地位。

数学理论和数学实践告诉我们，学生是学习的主体，教师的“教”是为学生的“学”服务的，因此，在数学教学中，充分体现学生的主体地位，调动学生的学习主动性和积极性，把学习中的学习潜力挖掘、开发出来，是提高教学效率和教学质量的关键。在此片段中，教师主要是引导、启发学生解决问题，而学生的思维一直处于亢奋状态。

（4）创设情境，激发学习数学的兴趣是教学动力。

兴趣是推动学生学习的内在动力，也是发展思维的催化剂。兴趣总是在一定的情境中产生的，要使学生在课堂上处于最佳的心理状态，教师必须想方设法激发学生的情绪领域，唤起学生心灵的共鸣，让学生因情感的驱动而产生学习的兴趣。著名数学家华罗庚说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。在案例中，引用了生活中的鸡蛋、橄榄球、花瓣等实物的形状，还补充白宫、地球的运动轨迹等。

（5）创造人人参与，人人有体验，人人成功的氛围。

学生是课堂的主人，有活动实践的天性和创造成功的欲望，最大限度地发挥学生的潜能是课堂教学的灵魂。教师要重视学生的参与性和实践性，让学生全员参与，全程参与，通过自身的实践活动，建构属于自已的知识系统。在本课中，教师是以宽容，友爱，平等的心态对待每个学生，使他们身心舒展，乐于思考，勤于发表自已的见解；其次教师给学生提供参与的机会，凡是学生能操作的，能颔悟到的，教师绝不包办代替；不刻意要求学生与教师思维一致，不刻意要求个别学生给出的答案对全班具有代表性，重视学生为解决问题而产生的一切想法和进行的一切尝试。

（5）积极的反馈与评价是教学的促进剂。

教师的期待和评价对学生有着重要作用。教师要允许学生对已有信息（材料）提出自已的想法，用自已喜欢的方式去分析问题，得出结论，验证结论，解决问题。在这个过程中，要给学生以充分表达自已的思想，表明自已的态度，表露自已的观点，表示自已的愿望和表现自已情感的自由。教师的鼓励与反馈“有利于创造活动的一般条件------心理的安全和心理的自由”。学生在心理安全的环境中，才能大胆猜想，质疑问难，发表不同意见。本课中教师的表扬语，对学生的积极猜想的肯定，学生对其他同学的表现抱以热烈的掌声，赞同的目光都是教学过程有利的促进剂。

总之，课堂教学是实施素质教育的主渠道，教师要重视学生知识系统的建构，重视学生获得知识的过程，关注学生灵活运用知识解决实际问题的能力，重视学生思考方式的学习，重视学生的个性品质健全，心理素质的发展，使学生获得全面的进步与发展。

参考文献

1、顾泠沅，《教学任务与案例分析》，载于上城教育信息港

2、顾泠沅，《追求卓越——教师专业发展案例研究》，人民教育出版社出版

3、罗增儒，《中学数学课例分析》，陕西师范大学出版社

4、任志鸿主编，《高中新教材数学优秀教案》，南方出版社