达·芬奇的“砝码”问题

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达・芬奇(1452～1519)是意大利文艺复兴时期著名的画家．他的许多杰作，如《最后的晚餐》、《蒙娜・丽莎》等都是艺术中的瑰宝，名扬四海．人们都熟知这位艺术大师，但却很少有人知道他对数学也很感兴趣呢!下面著名的“砝码”问题就是他最感兴趣的数学问题之一．数百年前，不少数学家也对这个问题作过研究．

“要在天平上称的重物都是整数磅的，并且重物都不超过40磅，问：至少需要几个砝码?它们各重多少?”

请同学们先想一想，再看下面的解答．

为了达到题目的要求．砝码的重量要慎重选择，但这些砝码中，肯定有一个是1磅的砝码，而且这些砝码的总重量也肯定不少于40磅．

如何称出2磅的重物呢?为了采用尽可能少的砝码，我们不能用一个2磅的砝码，而应当用砝码之间的差数来解决，因而用一个3磅的砝码来试试，如果在天平一边放3磅砝码，另一边放上重物和1磅砝码，就能称出2磅重物．称3磅和4磅的重物很容易．这就是说，增加一个3磅的砝码，就能称出1～4磅之间的任何整数磅重物．

如何称出5磅的重物呢?显然仅用1磅和3磅这两个砝码就不够了，应该增加第三个砝码．要使加入第三个砝码称量范围尽量能大一些，就得把第三个砝码放在天平一边，而另一边放上5磅重物和1磅、3磅两个砝码．这样就知道第三个砝码最好选9磅，并且可以推得用这样三个砝码就可以称出1～13磅之间的任何整数磅重物(同学们，推推看!)．这就是说，增加一个9磅的砝码，就能称出1～13磅之间的任何整数磅重物．

从上面的分析可以得出一个规律：设新增加的一个砝码重为m磅，原来的几个砝码共重n磅，要称出(n+1)磅重物(这就是为什么要增加新砝码的原因)，就必须在天平一边放上m磅的砝码，另一边放上n磅重的几个砝码和(n+1)磅的重物，即

m=n+(n+1)=2n+1．

由此即可推出第四个砝码应该是：

m=2×(1+3+9)+1=27(磅)．

这样就可推得1+3+9+27=40(磅)．也就是说，至少需要四个砝码：1磅、3磅、9磅、27磅，可称范围是1～40磅之间的任何整数磅(同学们，推推看!)．

按照这个规律，只要再增加一个砝码，就能称出一个新范围的任何整数磅，请同学们想一想，这第五个砝码是几磅?这个新范围又是什么? (答案：增加一个81磅的砝码，可称范围是1～121磅之间的任何整数磅．)