数学直觉与合情推理的有效结合

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引例某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

这是源自生活中的一道数学应用题，要能够完整地解决问题，学生的思维过程应该是这样的：首先考虑船的位置处于桥下正中央的位置，靠学生的直觉感知画出示意图，然后通过合情推理，由勾股定理以及圆有关的知识证实直觉图形的可靠性，最后得出船能否通过的结论.本题是与生活有关的例题，抽象为数学内容就是圆中两条平行弦之间距离、半径与拱高的关系，可以利用垂径定理得到.由此可见：在考虑数学问题时，数学直觉与合情推理起到了不可估量的作用.

一、合情推理为数学直觉做后盾

阿达玛认为：数学直觉的本质是某种“美感”或“美的意识”，数学直觉是一种非逻辑的思维模式，它的产生往往需要“理智的勇气”、“大胆的猜想”、“严谨的推理”.毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家的地砖铺成的地面很有意思，靠着这种直觉，这位数学大师从中抽象出图1：反映了等腰直角三角形中以直角边为边构成的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积，初步得到直角三角形的三边关系.于是大胆猜想，一般的直角三角形：如果两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.这种推理是合乎情理的.那么在一般情况下构造了图2，进行了演绎推理证明，证实了自己的猜想是正确的.在西方国家将这一结论命名为“毕达哥拉斯定理”，也称“百牛定理”.

由此可知，数学直觉是对生活中的“数学美”的一种发现，是一种最原始的感觉，是对自己已有知识、技能、经验的一种直觉反映，通过观察、猜想、归纳、对比之后对这一事件作出的一种比较理智的判断.这种思维模式不受已有的逻辑思维模式约束，而是自我潜在能力的一种爆发.合情推理是根据已有的事实和结论、实验或者实践的结果、个人的经验和直觉等推测这一结果的一种推理过程.同时，数学直觉与合情推理是相互依赖的，直觉只是提供了基本素材，而合情的推理为这一直觉提供了理论依据，作为直觉的支撑.当然最后还是需要通过演绎证明来判断.

二、扎实的数学功底是产生数学直觉的必要条件

扎实深厚的数学功底是进行合情推理的有效依据，是产生数学直觉的必要条件.新课标中提出 “学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力.”

案例1某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20 m，面积为160 m2，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m.

分析直觉上认为等腰三角形的边长20 m可能是腰长也可能是底边长，这一推理过程是合情又合理的.但是之后进行分类讨论若腰长为20 m时和底边长为20 m时，还要有扎实的数学计算基本功.

解（1）当腰长为20 m时，设底边长为2x，底边上的高为y，那么根据三角形的面积为160 m2，以及勾股定理可以得到方程组x2+y2=202，

1112×2xy=160，化简得到（x+y）2=720，

xy=160.

所以x+y=125，

xy=160.由第一个方程得y=125-x，代入第二个方程中得x（125-x）=160，化简的一元二次方程x2-125x+160=0.由求根公式得x1=85，x2=45，得到此时的周长为40+85或40+165.

（2）当底边长为20时，底边上的高为16，由勾股定理得斜边长为289，得到此时周长为20+489.

综上所述，需要栅栏的长度为20+489 m或40+85 m或40+165 m.

由于合情推理是通过分析、观察、类比、猜测等思维活动得到某一结论的过程，只要我们平时重视进行一些思维训练，那么数学直觉将会随着知识与经验的积累慢慢产生.学生数学思维的提高需要通过“做”数学的过程积累知识，在“思考”的过程中积淀.

三、和谐的数学美感能激发数学直觉的不断提高

美的意识能够激起和支配数学直觉.印度数学天才拉曼纽扬从英国数学家哈代乘坐的出租车号码1729中发现：这是一个很有意思的数，1729是可以用两种方式表示成两个自然数立方和的最小的数（既等于1的三次方加上12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次方）.哈代又问，那么对于四次方来说，这个最小数是多少呢？拉曼纽扬想了想，回答说：“这个数很大，答案是635318657.”（既等于59的四次方加上158的四次方，又等于133的四次方加上134的四次方）

徐利治教授曾指出：“每个人的数学直觉是可以后天培养的，而且可以不断的提高.”我们看到往往是数学大家才会在平时的生活中发现别人想不到的结论，那恰恰是因为他们有厚实的数学基本功.如希帕索斯发现了无理数所引发的第一次数学危机；“数学王子”高斯发现了二项式定理，发明了二次互反律和正十七边形的尺规作图法，解决了两千多年来悬而未决的难题；费尔玛的数论猜想；还有哥德巴赫猜想与陈景润先生的陈氏定理……这些无一不在说明数学直觉的产生、发展与壮大是需要扎实的数学基本功的，数学直觉与其说是一瞬间思维火花的自然爆发，还不如说是数学基本功长期积累的一种升华，是思维者思维过程的高度简化和灵感的顿悟.

这些事例都告诉我们生活中的数学美要以扎实的数学基本功为基础、以数学直觉为素材、以合情推理为支柱才能不断的发现数学美、才能促进人类数学的不断进步.