谱Legendre·Galerkin方法求解线性积分微分方程的超几何收敛性分析

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇谱Legendre·Galerkin方法求解线性积分微分方程的超几何收敛性分析范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要采用谱legendre-galerkin方法求解第二类Volterra积分微分方程.当核函数k（x，s）=k（x-s）和源函数充分光滑且满足M-条件时，证明了问题的解u必定也满足M-条件.在此基础上，进一步证明了谱Legendre-Galerkin方法求解第二类Volterra积分微分方程时在L2和L∞意义下的超几何收敛性.而且数值结果很好地反映了理论预期.

关键词Volterra积分微分方程；谱Legendre-Galerkin；超几何收敛性；M-条件

中图分类号O2418文献标识码A文章编号1000-2537（2013）02-0001-07

Volterra积分微分方程广泛应用于物理、生物、控制论等自然科学领域.该类方程中的积分项反映了实际过程中的记忆或反馈性质，使得它与传统的微分方程有着本质的区别.如何快速、高效而准确地求解这类问题是科学计算中的重要问题.

早期关于积分微分方程的数值方法主要是差分方法[1].近年来，Hesthven[2]，Tang[3-4]， Guo[5]和Wang[6]等在用谱方法求解积分微分方程方面做了大量的工作，使得这方面研究逐渐引起了学者们的关注.事实上，谱方法具有“无穷阶”的收敛性，即如果原方程解无限光滑，那么适当的谱方法求得的近似解将以N-1的任意幂次速度收敛于精确解.特别是谱方法适合于求解非常规则而几何区域维数非常大的问题.

参考文献：

[1]BRUNNER H. A survey of recent advances in the numerical treatment of Volterra integral and integral-differential equations[J]. J Comput Appl Math， 1982，8（3）：76-102.

[2]HESTHVEN J S， GOTTLIED S， GOTTLIEB D. Spectral methods for time-dependent problems[M].New York：Cambridge University Press， 2007.

[3]SHEN J， TANG T. Spectral and high-order methods with applications[M].Beijing：Science Press， 2006.

[4]SHEN J， TANG T， WANG L L. Spectral method：algorithms， analysis and applications[M].New York：Springer， 2011.

[5]GUO B Y. Spectral methods and their applications[M].Singapore：World Scientific， 1998.

[6]GUO B Y， WANG L L. Jacobi interpolation approximations and their applications to singular differential equations[J].Adv Comput Math， 2001，14（3）：227-276.

[7]BERNARDI C， MADAY Y. Handbook of Numerical Analysis：Spectral methods[J].Techniques of Scientific Computing（part 2）， 1997， 5：209-485.

[8]GOTTLIEB D， ORSZAG T A. Numerical analysis of spectral methods：theory and applications[M].Philadelphia：SIAM， 1997.

[9]KARNIADAKIS G E， SHERWIN S J. Spectral/hp element methods for CFD[M].New York：Oxford University Press， 1999.

[10]TREFETHEN L N. Spectral methods in matlab[M].Philadelphia：SIAM， 2000.

[11]TAO X， XIE Z Q， ZHOU X J. Spectral petrov-Galerkin methods for the second kind volterra integro-differential equations[J].Numer Math Theor Meth Appl， 2011，4（2）：216-236.

[12]WEI Y X， CHEN Y P. Legendre spectral collocation methods for pantograph Volterra delay-integro-differential equations[J].J Sci Comput， 2012，53（3）：672-688.

[13]ZHANG Z. Superconvergence of spectral collocation and p-version methods in one dimensional problems[J].Math Comput， 2005，74（252）：1621-1636.

[14]TANG T， XU X， CHEN J. On spectral methods for Volterra type integral equations and the convergence analysis[J].J Comput Math， 2008，26（6）：825-837.

[15]XIE Z Q， LI X J， TANG T. Convergence analysis of spectral Galerkin methods for Volterra type integral equations[J].J Sci Comput， 2012，53（2）：414-434.

[16]BRUNNER H. Collocation methods for Volterra integral and related functional equations[M].Cambridge：Cambridge University Press， 2004.

[17]陶霞.求解Volterra积分微分方程的高阶方法[D].长沙：湖南师范大学， 2012：33-36.