“评说一元二次方程解的估算”设计

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随着新课程的进一步实施，以发展为目标、以学生为主体的教学理念越来越得到人们的普遍认可. 如何将新课程的理念落实到课堂教学中去呢?我们认为实施新课程必须改变陈旧的教学模式和学生的学习方式. 正如《数学课程标准》(以下简称《标准》)指出的那样：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式. ”

所谓学习方式是指学生在完成学习任务过程中基本的行为和认知的取向，它的基本纬度是自主性、探究性和合作性. 但是长期以来，学习方式以被动接受性为主要特征，忽略了人的自主性、能动性和独立性，学生自主探索、合作学习、独立获取知识的机会很少. 由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程. 《基础教育课程改革纲要(试行)》中也明确指出，在教学过程中，应尊重学生的人格，关注个体差异，满足不同学生的学习需要. 因此，改革学生的学习方式，让学生以自己喜欢的方式学习是非常紧迫和必要的.

笔者参加了目前教育部推荐使用的青岛出版社和泰山出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学》(以下简称《教科书》)的编写工作，我们在编写的过程中非常重视学生自主探索知识这一环节的设计，努力使教材的呈现过程能引导学生“重蹈”数学知识的发生、发展过程，让学生在经历这些过程中达到发现知识、掌握知识的目的，使他们真正成为学习的主人. 《标准》虽然这样要求，可是具体到课堂上，特别是教学设计中几乎是“清一色”的传统教学的模式，并无多大课改的新起色，无怪乎人们用“依然唱着那首歌”、“重复着昨天的故事”等来形容目前的课改现实.

前几天，我收到了山东历城区二中李晓芸老师关于“一元一次方程根的估算”课的设计，看后非常高兴，自认为这是一个能引导学生自主探索的设计，这一设计体现了《教科书》的编写理念. 该设计是《教科书》九年级上册第3章《一元二次方程》第1节“一元二次方程”的第2课时的内容，《教科书》在本节课的安排上是以“实验与探究”的栏目展开的(这是本套教材的一大特色，有关《教科书》的简介请参阅《中学数学杂志》2006年第4、5两期).

1 设计者对教学内容的认识

拿到课题，我首先考虑的是《根的估算》这节新课在教材安排中的用意，不言而喻，编者意在培养学生的估算意识，和让学生掌握一种基本的估算方法，由于本节设置在“学生不会解一元二次方程”的大前提下，而人们在生活中逐步形成的“对无法得到的数据就会去估算”的心理条件反射，也使本节内容的出现自然、合理，从而能让估算意识和方法完整地呈现在数学课堂上.

而我对能否达到这个目的，有点信心不足. 因为往后的三节课，都在讲一元二次方程的三种解法，而每一种方法都能很轻松方便地求出方程的解. 对比之下，估算既繁琐且不准确，学生会很自然地趋向于方程后面的解法，从而淡化和削弱了刚刚巩固的估算意识和方法.

点评 本节课的主要任务是带领学生完成估算一个简单一元二次方程的解的范围的问题. 培养学生的估算意识是《标准》的要求，可《教科书》中能培养估算意识的素材并不多，本章第一节的第一课时已经给出了一元二次方程及其有关的概念，后面的第2、3、4节课集中学习一元二次方程的解法. 在学习解法之前，安排估算一元二次方程解的范围的一个课时是非常必要的. 而且学生已经学习了一元一次方程、一元一次不等式的解法等知识，具备了进行估算的基础. 在《实数》一章中曾学过方根的估算，这样学生既有学习估算的知识技能基础，也具备活动经验的基础，因此，无论从主观上讲还是从客观上讲，《教科书》安排这样的估算内容都是可行的. 对于设计者的担心，我在这里不过多的去讨论，希望读者朋友们自己去思考、去实践、去探讨.

2 教学任务分析

本课时的主要任务是通过带领学生进行自主探索，解决估算一元二次方程根的问题，经历估算的过程，掌握估算的方法，体会估算的作用. 教学目标为：

1.经历探索估算一元二次方程根的方法的过程，面对具体的一元二次方程能估算出其根的范围.

2.掌握用估算的方法来求方程的根一般过程.

3.体验探求数学问题的解的过程，树立生活即数学的观点.

教学重点：估算的方法和会用估算法求方程的根.

教学难点：对估算方法的理解和运用.

点评 设计者对教学任务的分析基本上是到位的. 我们认为学生通过学习本课时的内容，最大的收获将会是对估算过程和方法的理解. 《标准》在方程的具体目标中指出“经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程”. 在经历了这一过程的同时，他们对估算方程解的方法的获取和感受才是最重要的，这种估算意识的作用对学生的影响将是终生的，决不是我们用简单的几句话就能说明白的.

3 教学设计分析

本节课的设计包含以下六个环节：问题引入――实验探究――数学应用――扩展探究――课堂练习――小结.

第1环节：问题引入

同学们，通过上一节的学习，我们知道生活中的许多问题都可以用方程来表示，例如，课件展示上一节的6个例子：

可是列方程不是目的，求方程的解(进而解决方程所反映的实际问题)才是我们的目的，那如何来求我们这些并不熟悉的方程的解呢?难道要一一探究每一种方程的解法吗?如果不想这样，那就和老师一起去寻找一种能解出所有方程的解的方法吧.

点评 为了说明对方程的解进行估算的必要性，设计者列举了六个生活中的例子，作为铺垫，这些具体实例在上节课都已出现，这样安排可为学生留下足够的探索与思考的空间，而且降低了本课时的难度，同时也节约了时间，使本课时能开门见山的提出问题. 为了让学生对估算感到自然、必要、合理，设计者除提出一元二次方程外，还大胆地从实际生活出发引入了反映生活问题的分式方程、一元高次方程、无理方程，虽然这些方程暂时都不学，但由于它们是为了解决生活中的简单实际问题而出现的，所以让学生再一次体会到“生活中处处有数学”、“数学来源于生活”的观点. 所以我们说，对于这些方程即使学生不会求解它们，也能“认识”它们，这样安排并没有超过《标准》的要求.

第2环节：实验探究

弗赖登塔尔曾说过：“数学来源于生活”，那就让我们观察一下生活中，当人们无法得到某个数据的时候，应该怎样去解决呢?

做实验之前，先向学生提出以下问题：

1.班上现有同学多少人?九年级学生共有多少人?

2.你有多高，多重?你身上的衣服多少钱?走一步多长?

3.你能估计一下老师有多高?并进行高低大小的提示，让学生再进行估算.

点评 用学生感兴趣的类似于游戏的问题，作为实验的引入，符合学生的认知规律，这样能引发学生对下面实验的兴趣. 这三个题目的目的是培养学生估算意识，让他们体会到生活中存在大量需要估算的数据. 学生通过思考问题1，认识到前者是一个准确数，他们能准确的说出自己班上的人数；而对于九年级学生的总数，学生未必能说出准确的数目，但他们会根据自己班的学生数和九年级班的个数得(说)出一个近似数(估算数). 解答这道题，树立起下面的意识：当我们初步感觉无法得到某个准确数据的时候，可以去估算这个数据的大体值. 在回答问题2的同时，使学生深切地感到估算在生活中无处不在，估算意识早已在我们的脑海中扎根，并且让学生发现当我们对数据不太熟悉时，我们不会直接去估算这个数据，而是先去估算一个范围. 而问题3是让学生感到估算得到的往往是真实值的一些接近值，但是根据大、小，高、低这些趋势上的提示，估算值会慢慢接近真实值.

由于以上估算，是学生在生活中自然形成的，因此课堂上大多数同学会无条理、无目的地进行，但是无论学生表现如何，老师都会很自然地引出下面的实验.

实验：借用幸运52的游戏，估算0～50之间的数

规则：小组内有一人写一个0～50之间的数，另一人进行高低的提示，其他组员进行估算.

方式：小组实验.

目的：寻找取中间值估算的方法.

小组实验时教师可进行小组巡视、观察和交流，若发现学生找不出估算的方法，老师可调整如下：老师说：“我找到了一种方法，这种方法最多七次就可估算出0～50之间的任意整数. ”在激起学生的好奇心之后，和学生共同做实验进行验证. 然后再让学生分组交流，探究出取中间数无限逼近的估算方法.

点评 通过实验，学生在老师的引导下，在相互交流讨论的基础上，自主地发现估算的方法，总结出估算的下列步骤：(1)先根据实际条件，估算一个范围. (2)取中间值分成两个大致均等的范围，接着确定高低、大小的趋势，根据趋势确定缩小的范围. (3)在缩小的范围内重复以上步骤，从而使范围继续缩小，直到缩小到我们所寻求的数值为止. 从学习任务上讲，这个实验给出的方法就是下面环节直接使用的估算方法.

第3环节：数学应用

通过刚才的探究，我们发现当人们无法得到某个数据的时候，他们会使用估算的方法来逐步寻求这个数据，那同样的，我们能不能也用估算的方法去寻求方程中未知数的值呢?

点评 问题的给出太自然了，学生一点也不会感到生疏. 这样的发问，还会启发学生：下面就要用实验的结论解答问题了.

借用引例中的例子进行探究：

直角三角形的斜边是11cm，两直角边的差为7cm，求两直角边的长?

探究方程：x2+7x-36=0的根.

在学生探究前提问：

1.什么叫方程的解?

2.我们要估算的这个未知数x应满足什么条件?

点评 只要学生能发现x的值必须使x2+7x-36的值等于0或使x2+7x的值等于36即可，下面的估算就自然是水到渠成了.

3.你能直接估出这个未知数的值吗?如果不能，请根据实际条件，估算一个范围.

点评 一般情况下，我们不可能直接估计到一个方程的解，只能采取逐步缩小范围的方法来确定. 这个范围可由方程本身来确定，也可由实际意义来确定，但必须使学生明确x2+7x-36=0的解的范围是在使x2+7x-360的x值之间. 有了这样的认识就可以进行下面的逐步逼近准确值的过程了.

4.列表展示取中间值估算方程根的过程

通过交流讨论有可能出现的多种情况，使学生明确用估算法求方程解的步骤(分组交流). 范围可能出现在(0～11、0～4或其它)：

x011x2+7x0与36比较小于36大于36学生分组后，自己能根据上表确定0～11之间的值，并逐步逼近，缩小两个数之间的差，经过多次试验，他们会将得到下面一系列可喜的结论：

(1)方程x2+7x-36=0在0～5之间有根；

(2)方程x2+7x-36=0在3～5之间有根；

(3)方程x2+7x-36=0在3～4之间有根；

(4)方程x2+7x-36=0在3～3.5之间有根.

……

继续下去就能估算出方程x2+7x-36=0的一个根的近似值.

点评 这是本节课的主题，要舍得在这方面下功夫. 这一环节充分体现了《标准》的理念“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上. 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验. 学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”. 另外，需要与设计者商量的是，设计者的目的是希望学生先能得到上面“一系列可喜的结论”，再估算出方程x2+7x-36=0的一个根的近似值. 从而完成本课时的教学目标. 我们认为设计的过于简单，具体实施时可根据课堂的实际适当调整，这样做符合“从实际出发”的要求.

第4环节：扩展探究

如果不考虑方程x2+7x-36=0的实际意义，那么这个方程还可能有一个负根吗?如果有，请你用估算的方法求出这个负根的近似值.

x-20011x2+7x2600与36比较大于36小于36大于36点评 虽然一元二次方程是从实际问题得到的，但方程的解未必都是实际问题的解. 安排这个扩展探究非常好，通过这个探索过程，学生认识到上面的这一点就达到目的了. 令我担心的是时间是否够用?

第5环节：课堂练习(课本上的题目)

第6环节：小结

虽然我们能用估算的方法能求出方程的解，但是这样做既繁琐又不准确，俗话说，失之毫厘，差之千里. 因此，估算法并不能代替解方程，所以下节课我们就一起探讨生活中常见的一元二次方程的解法.

通过本节课的学习你有哪些收获和体会?(主要倾听学生是否能总结出：1、具有了估算意识；2、掌握了估算方法；3、向生活学习的科学态度. )

点评 这样的设计不仅使本节内容成为必要的，而且起到了承上启下的作用，同本章其它几节内容也形成了一个和谐的整体. 小结起到了画龙点晴的作用，也为下一节课做了铺垫. 尽管设计者一开始对自己的设计有点担心，但还是大胆进行了改革尝试，我们认为这是一个大胆的尝试，希望设计者加强对《标准》的学习与研究，在教学中勇于改革，努力体现新的课改理念.

总点评 1.以问题为载体为学生提供探索的空间. 俗话说“问题是数学的心脏”. 每个环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，第一环节以问题作为激活学生思维的刺激因素，激发学生产生合理的认知冲突，激发起他们的学习兴趣，第二个环节用问题作为实验的前奏，引导学生对实验产生兴趣，在实验的基础上得到启示，自然进入下面的环节. 第三、四环节以问题为抓手，引领学生积极探索、大胆思考，相互交流，归纳得到估算一元二次方程的根的方法，完成本课时的主要任务. 第五环节的练习是解决具体的问题，当然更是问题当先.

2.始终围绕教学重点展开. 本课时的重点是让学生掌握估算的方法和会用估算法求方程的根. 为了让学生掌握估算的方法，该设计给出了一个实验，这个实验为完成本课时的教学任务奠定了基础，同时也开拓了学生的思维空间，实验有利于方法的获取. 从设计来看，每个环节都是为了完成教学重点展开的.

3.关注学习方式的改变. 《标准》指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式. 有效的数学学习过程不能单纯的依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略. 本设计的第二、三、四三个环节就特别注重了发挥学生的主体地位. 如在引导学生探究方程根的过程，采用了分组交流的学习方式，这样学生就会做到自主探索、相互交流，让学生在探索的过程中，逐渐发现和提出新问题，在交流的过程中完成对知识的掌握和构建.

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