利用基本不等式求最值问题探究

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求最值问题是一类常见的高考题型，问题遍及代数、三角、数列、向量、立体几何、解析几何各知识点之中.最值问题历来是高考的热点，常考常新.为此，笔者特地归纳近几年高考各类最值问题及解答方法，发现利用基本不等式是解决最值问题的有力武器.基本不等式又称为均值不等式，是普通高中课程标准实验教科书必修5 ，第3章第4节内容，是学生继不等关系、一元二次、二元一次不等式组之后学习的最后一节，本节内容在高中数学中有着重要的地位，考纲中的要求达到C级，足可见它的重要性和难度.本文主要是从基本不等式的应用出发，构造出满足基本不等式的条件，利用基本不等式进行求解最值问题，使解题过程简洁明了.下面通过几个实例来说明基本不等式在解题中的应用.

一、利用基本不等式证明不等式

利用基本不等式证明不等式时，应注意以下几点：

（1）注意基本不等式ab≤a+b2成立的前提条件：

a>0，b>0.

（2）如果式子不具备基本不等式的特点，通过加减项的方法配凑成可用基本不等式的形式.

（3）注重基本不等式的灵活变形形式的应用，常见的基本不等式的变形有：

能力提升：本题从形式上看不具备基本不等式的形式，而具有可使用的特点，为此，通过加减项的方法配凑成可使用基本不等式的形式，从而使问题得到解决.

二、利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值，首先要了解最大（小）值问题的两个重要结论：

一是，两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0且a+b=M，M为定值，则ab≤M2/4，当且仅当a=b时等号成立；二是两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0且ab=P，P为定值，则a+b≥2P，当且仅当a=b时等号成立.利用该结论求最大、最小值时，应注意“一正、二定、三相等”.“一正”指的是两个数（或式）必须是正数；“二定”指的是两个数（或式）的和或积必须有一个为定值；“三相等” 是指当且仅当两个数（或式）相等时才能取等号，且必须可以取到.

当且仅当y-4=4y-4，即y=6时取“=”，此时x=3.所以当x=3，y=6时，（x+y）min=9.

能力提升：本题主要考查应用基本不等式求最值的思想方法，应构建某两个数（或式）的和或积为定值，因而需要对条件进行必要的变形.有两种思路：①利用“1”的代换进行变形；②将x，y消去一个变量，凑配出满足基本不等式的条件.

三、利用基本不等式解应用问题

在运用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思想和方法：

（1）先理解题意，设出变量一般把要求最值的量定位函数，根据实际问题确定函数的定义域；

（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值与最小值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

（4）根据实际背景写出答案.

例4某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为

能力提升：以不等式为模型的应用题是常见的题型之一，有关统筹安排，最

佳决策、最优化问题以及涉及最值问题，常常需建立不等式模型来求解.

基本不等式的应用是很广泛的，在学习过程中，要深刻理解基本不等式的内在实质，搞清其条件、公式、结论之间的辩证关系是关键.我们从上面的分析可以看出用基本不等式解决某些最值问题还是很方便的，这使得我们在解最值问题的时候可以从容面对，而且有时候还取到意想不到的效果.

[山东省高青一中 （256300）]