圆宝塔的一个有趣性质

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如图1，将n(n+1)2个半径相等的圆摆成一个宝塔形，最下面一层有n个圆，它们都与直线AB相切，往上每一层都比它下一层少一个圆，除了最下面一层外，每一个圆与它下面的两个圆都相切，这便是一个圆宝塔（图1中n=5)．

图1如果这个圆宝塔象图2那样摆得很整齐，即最下面一层相邻的圆都是相切的，或者底层的几个圆摆成左右对称的，则最上面那个圆的圆心和最下层两端的两个圆的圆心相连可以构成一个等腰三角形，且以最上面那个圆的圆心作为顶点，这一点是没有什么疑问的.现在的问题是，如果最下层摆得不是那么“整齐”，比如象图3那样，圆与圆之间有的是相离的，甚至还有相交的，也不是左右对称，结论还能成立吗？一般认为不会再是等腰三角形了，但让你感到惊奇的结论是：无论最下层如何摆，那三个圆心始终构成一个等腰三角形．

图4我们先看n=3的情形，如图4中，设六个圆的圆心分别是C、D、E、F、G、H，连CG、CH、GD、GF、HF、HE.由摆的方法知，以上所连的这些线段都相等.再作矩形DEQP，使QP过C点.要证C、D、E构成等腰三角形，只要证CP=CQ即可．

分别以CG、GD、CH、HE为斜边作直角三角形，并使两条直角边分别与DE垂直和平行.因为四边形CGFH是菱形，所以GF∥CH，又因为DF∥CS，得∠HCS=∠GFD，而GD=GF，则∠GFD=∠GDF，再由MG∥DF，得∠GFD=∠DGM，从而有∠DGM=∠HCS，从而得DGM≌HCS，即有GM=CS.同理可证CGR≌HEN，即有CR=HN.从而得到：CP=CR+RP=CR+GM=HN+CS=SQ+CS=CQ，从而C、D、E可以构成等腰三角形

图5如图5，若n＞3（图中画出n＝6），和n=3的做法一样，把每个圆的圆心和在下面与它相切的两个圆的圆心相连，则中间连出的每个四边形都是菱形.同样以处在两边的连线为斜边作直角三角形，这样可以作出10个直角三角形，并作出矩形DEQP，和n=3时的证明方法一样，容易证明，标号分别为1和6的两个三角形全等，标号分别为2和7的两个三角形全等，标号分别为3和8的两个三角形全等，标号分别为4和9的两个三角形全等，标号分别为5和10的两个三角形全等.例如，要证明标号1和标号6的两个三角形全等，只要看出由图中用单小弧标出的那4个角相等就明白了，要证明标号为4和标号为9的两个三角形全等，只要看出由图中用双小弧标出的那4个角相等就明白了.其余是类似的.这样，标号1至标号5这5个三角形的水平直角边长的和等于标号6至标号10这5个三角形的水平直角边长的和，即CP=CQ.从而C、D、E可以构成等腰三角形．

对于n是其它值的情形可以类似地证明，本文不再赘述．

作者简介:解武，男，1971年生于江苏省邳州市，1995年毕业于徐州师范大学数学教育专业，现为运河高等师范学校数学讲师，主要研究方向高师数学教育.