难点分解、知识点模块化
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摘 要 本文来探讨三角函数中绝对值情况求最值和周期问题的一般技巧，就是抓住基础知识、将难点分解、知识点模块化。
关键词 三角函数；正弦函数；绝对值；最大值；最小值；最小正周期
三角函数部分是高考中数学知识的重点，而三角函数的最值和周期问题，又是多年高考都在考的内容。对于这类问题，学生对简单题目解答的比较清楚，但一遇到稍微复杂一点的题目便常常束手无策。根据多年的备考经验，我认为解答此类问题，最重要的是将难点分解，使知识点模块化，向基础知识要答案。下面我就以一题为例，来作具体分析。
题目：求函数y=sinx+cosx的最小值和最大值。
解：依设知y≥0，且y2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2|sinxcosx|，
因为0≤2sinxcosx≤sin2x+cos2x=1，
且当x=■（k∈Z）时有2sinxcosx=0，
当x=■+■（k∈Z）时有2sinxcosx=1，
因此，y2有最小值1和最大值2；由y≥0得y的最小值是1，最大值是■。
书上给出的答案，用代数的方法对函数的两边进行平方运算，来求y2的最值，再计算出函数的最值。解答思路清楚，学生也能听懂，但学生反映，对于求y2的最值来计算函数的最值这种方法，掌握起来有困难，题目做个小小变化后，便不知如何操作了。
在讲授过程中，我引入了几何的方法，让学生既能掌握规律，又能看得见、“摸”得着。抓住基础知识、将难点分解、知识点模块化，解决相关的一些题型：
①y=sinx ②y=sinx ③y=sin2x ④y=sinxcosx
⑤y=sinx-cosx ⑥y=sinx+cosx ⑦y=sinx+cosx
⑧y=sinx-cosx
首先，要求学生掌握需要的基础知识。
（1）要掌握正（余）弦函数y=sin（y=cosx）的图象，最小值为-1，最大值为1，最小正周期为2π；
（2）sin2x=2sinxcosx；
（3）正弦型函数y=Asin（ωx+ψ）的最大值为|A|，最小值为-|A|，最小正周期为■。
其次，将难点分解、知识点模块化，要求学生掌握必要的题型，进行知识拓展。
（1）函数y=asinx+bcosx的最小值为-■，最大值为 ■，最小正周期为2π；
（2）正弦函数y=sinx加上绝对值后，函数y=|sinx|的图象将原来y=sinx的图象在x轴下面的部分全部以x轴为对称轴，翻到x轴的上面。
最小值为0，最大值为1，最小正周期为π。规律：取绝对值后，最大值为原来的最大值，最小值为0，最小正周期为原来最小正周期的一半。
类似的，正弦函数y=sinx加上平方运算后，函数y=sin2x的最大值为原来的最大值，最小值为0，最小正周期为原来最小正周期的一半（图象的变化过于复杂，不在这里说明）。
为了让学生更好的理解绝对值和平方运算对函数值的影响，引入实例：
Ⅰ、-1
Ⅲ、-1
（3）最后，将所有必要的知识点进行整合，得出结论。
要求学生画出函数y=|sinx|和y=|cosx|的图象。
y=|sinx|
y=|cosx|
然后将两个图象放到一个坐标系中，
从整个图象上可以看出，从（0，■）开始以■为周期进行变化。而在（0，■）中，从变化趋势又可以看出在x=0、■、■处为最特殊；即，函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期为■，最大、最小值一定出现在x=0、■、■处。将x=0、■、■分别代入函数y =|sinx|+|cosx|中，最小值为1，最大值为■。
至此解出正确答案，过程看似复杂，但由于正确运用了数型结合的思想，大多数学生还是掌握了解题方法，其他同学经过不断的训练，也能收到很好的效果。而对于以后对其他题题目的拓展，开了一个很好的头。
对拓展中出现的其他问题的解决：
④y=|sinxcosx|：因为sin2x=2sinxcosx（见前面基础知识），所以sinxcosx=sin2x，即，y=sinxcosx的最小值为-■，最大值为■，最小正周期为π。
取绝对值后，y=|sinxcosx|的最小值为0，最大值为■，最小正周期为■。
⑤y=|sinx-cosx| ⑥y=|sinx+cosx|：因为y=sinx-cosx与y= sinx+cosx的最小值都为-■，最大值都为■，最小正周期都为π。
取绝对值后，y=|sinx-cosx|与y=|sinx+cosx|的最小值为0，最大值为■，最小正周期为■。
⑧y=|sinx|-|cosx|：首先画出函数y=|sinx|和y=-|cosx|的图象。
y=|sinx|
y=-|cosx|
然后将两个图象放到一个坐标系中，
从整个图象上可以看出，从（0，π）开始以π为周期进行变化。而在（0，π）中，从变化趋势又可以看出在x=0、■、π处为最特殊；即，函数y=|sinx|-|cosx|的最小正周期为π，根据函数图象所体现出来的单调性，可以看出最小值一定出现在x=0处，最大值出现在x=■处。将x=0、■分别代入函数y=|sinx| +|cosx|中，有最小值为0，最大值为1。