基于改进NSGA-Ⅱ的给水管网多目标优化设计

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摘要： 为较好地解决给水管网优化设计中的经济性和可靠性问题，提出了以管网年费用和可靠性为目标的管网多目标优化设计模型。以管网年费用和可靠性为目标，在传统NSGA-Ⅱ算法的基础上，采用算术交叉算子，并引入累积排序适应度赋值策略，提高了算法的收敛速度和种群多样性。实例分析结果表明，改进NSGA-Ⅱ算法的优化结果优于传统的NSGA-Ⅱ算法。

关键词：给水管网；多目标优化模型；水力可靠度；熵值可靠度；NSGA-Ⅱ

Multiobjective optimization design of water distribution network based on improved NSGA-Ⅱ

Liu Mengyun

(College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Abstract: For a sound achievement of economy and reliability in the water distribution networks (WDS) design, the multi-objective mathematical model was established based on economy and reliability in WDS. Aiming at WDS annual fee and reliability, based on traditional NSGA-Ⅱ algorithm, arithmetic crossover operator and a new accumulated rank fitness assignment strategy were proposed for higher convergence speed and better population diversity. The improved NSGA-Ⅱ algorithm was applied to actual project, and the results of this improvedalgorithm were compared with the traditional NSGA-Ⅱ algorithm in order to prove the superiority of the former.

Key words:water supply network;multi-objective optimal model ;hydraulic reliability ;hydraulic reliability information entropy ;NSGA-Ⅱ

中图分类号：S611文献标识码：A 文章编号

给水管网系统是城市供水系统的重要组成部分，其投资一般要占整个供水系统总投资的50-80%。随着城市规模的扩大，给水管网也不断向着大型化、复杂化的方向发展。在工程总投资有限的基础上，为了保证整个供水系统中水量、水压、水质的安全以及供水可靠性，进行给水管网的优化设计对加强安全可靠性、降低工程成本、提高经济效益和社会效益有着重要的现实意义[1]。

Cunha和Sousa[2]选用管网建造费用为目标，并运用模拟退火算法，对管网模型进行求解。这样通过单目标优化求出的最优解，难以保证管网的供水可靠性Tanyimboth[3]提出了采用管网信息熵来评价管网运行可靠度的方法，该优化模型中，信息熵代表管网的布局，但是模型中未考虑管网的运行费用。

本文从给水管网设计的实际工程出发，以多目标优化理论和计算机技术为基础，建立了管网总费用年折算值最小、管网水力可靠度和熵值可靠度最大为目标的优化模型，并在NSGA-Ⅱ算法的基础上提出改进方法:在引入算术交叉算子的同时，提出并引入累积排序适应度赋值策略，用于求解该模型。

1 管网管径优化数学模型

1.1 管网经济性目标函数

给水管网总费用年折算值是评价一个投资方案优劣的根据。管网的总费用年折算值由两部分组成，即管网建造年折算费用和管网年运行管理费用。以管网费用最小为目标的函数指在不同管径管段的单位长度造价和管段长度已知的情况下，寻找出一种管径组合，使得据此求出的各节点水压满足节点压力约束，控制点的自由水压满足最小允许自由水压，并且在此种情况下，管网总费用的年折算值最小[4]，数学模型表示为：

⑴

式中： 为管网的造价（元）； 为折旧与大修理费； 为建设投资回收期； 为第 个管道的管长（ ）； 为供水管网的管道数； 为统计常数及指数； 为第 段的管径； 为设计年限内供水能量变化系数； 为电价（分/ ）； 为进入管网的总流量（ ）； 为从管网起点至最不利点任一条管段路径的总水头损失； 为水泵站的效率。

1.2 管网水力可靠度与熵值可靠度目标函数

1.2.1 管网水力可靠度

对于模型中的节点，当系统提供的水量不能满足用户的用水需求时，认为该节点的可靠度值不能满足要求，所以本文中节点的可靠度定义为节点可利用水量和节点需水量的比值。则 节点在 时刻的瞬时水力可靠度表征为：

⑵

式中： 为节点 在 时刻的实际可利用流量（ ）； 为节点 正常工况下需水量（ ）。

节点的水力可靠度为供水管网在给定的运行时间内，节点瞬时可靠度之和除以累计时间，如式所示：

⑶

式中： 为供水管网某节点 的可靠度； 为给定的供水管网模拟运行次数（天）； 为运行时间（天）。

管网是由多个节点组成的复杂供水系统[5]，对多种因素影响的系统特征量，可以用各因素的加权特征量评价。当得出供水管网中节点的可靠度时，即可求解出整个供水管网的系统可靠度。本文采用权重因子法对供水管网的系统可靠度进行计算。

⑷

式中： 为供水管网系统水力可靠度； 为供水管网总供水量（ ）； 为系统节点总数。

1.2.2 管网熵值可靠度

给水管网由于水源至每个节点的供水路径不同，在环状管网中，通过不同的供水路径供到节点的水量也不一样，致使给水管网产生与路径相关的不确定性，研究指出可用熵函数度量这种不确定性[6]。

Awumah[7]曾提出给水管网的熵值计算式：

⑸

式中： 为管网熵值； 为管网中节点数目； 为与 节点直接相连的其它节点的数目； 为 和 节点之间管段流量； 为管网中所有管段流量之和。

Awumah还提出节点熵值函数，如式所示：

⑹

式中 为节点 的熵值； 为流入节点 的流量。

联立⑸式和⑹式，管网熵值可用下式表示：

⑺

1.3 水力约束条件

①水力平衡约束条件：

节点连续性方程：⑻ 能量方程：⑼

压降方程：⑽

②管段流速约束条件：

⑾

式中 、 为经济流速的上限与下限。

③节点水压约束条件：

⑿

式中 、 为节点要求的最小和最大水压值。

④可选标准管径约束条件：

可选标准管径约束条件，即 ， 为可选标准管径总数目。

2多目标优化模型的求解

2.1 NSGA-Ⅱ算法

由于多目标进化算法可以在一次运行中得到多个Pareto优化解，近年来，在多目标优化领域已经成为一个研究热点，出现了许多优秀的算法，取得了较好的效果。其中非支配排序算法NSGA-Ⅱ是具有代表性的算法。

NSGA-Ⅱ是在NSGA算法基础上改进得到的高性能算法，它主要采取三个策略：1)解的非支配水平检查采用一种计算时间复杂性大为降低的快速排序方法；2)从父代与子代群体中选择最好的 个解( 为父代群体大小)作为新的父代群体；3)引入拥挤距离度量同一非支配水平的解在目标空间的分布情况，基于解的适应度和拥挤距离定义选择算子。

2.2 算法的改进

2.2.1 交叉算子

nsga-Ⅱ中采用SBX（Simulated Binary Crossover）交叉算子，SBX算子模拟二进制交叉算子的过程，对实数编码的父个体进行交叉操作，SBX算子搜索性能相对较弱，在一定程度上限制了算法的搜索性能，使得NSGA-Ⅱ在收敛速度和多样性保持方面还有可以改进的空间。

本文将算术交叉算子[8]引入NSGA-Ⅱ。设 和 分别为第 代两个体交叉点处对应的决策变量的真实值编码，则交叉后两个体的决策变量值为：

⒀

其中 和 为 上均匀分布的随机数，且 。将 和 不仅仅限于 区间，可以保证该交叉算子的搜索区域覆盖 和 的所有邻域，且二者之间的区域搜索几率较大。该算术交叉算子比SBX具有更好的全局搜索能力，能更好地保持种群的多样性。

2.2.2 累积排序适应度赋值策略

NSGA-Ⅱ采用的Pareto排序策略是：当前种群中不被任何其他个体支配的个体是非支配个体，其Pareto排序值为1，全部非支配个体的集合是第一级非支配个体集；从当前群体中将这些个体去掉， 新产生的非支配个体的Pareto排序值为2，组成的集合为第二级非支配个体集；依次类推，直到所有的个体的Pareto排序值确定为止。以 表示的 代中的个体 的Pareto排序值。

这种赋值方法的缺点是:个体的Pareto排序值有时不能很好的反映个体周围的密度信息。本文提出的累积排序适应度赋值策略同时考虑个体的Pareto排序值和密度信息。首先，类似于NSGA-Ⅱ对所有的个体进行Pareto排序，得到每一个个体的Pareto排序值。设在第 代种群中支配个体 的个体集为： ，则个体 累积排序值定义为支配个体 的所有个体的Pareto排序值的和，如式所示：

⒁

2.3 算法过程

随机产生一个规模为 的初始种群 ，将种群中的所有个体快速非支配排序。采用选择、交叉遗传算子产生一个规模为 的子代种群 。其中，选择算子主要根据累积排序值评价个体的优劣，选择累积排序值小的个体参与繁殖。将 和 合并为一个规模为2 的种群 ，对 进行非支配排序得到非支配个体集 ，选择前 个非支配集和 的前 个个体组成种群 。

，且⒂

再由 经选择、交叉产生 ，将 和 合并为 。重复上面的循环，直到满足停止条件。

3 实例分析

某给水管网包括一个水厂，18个用户节点，2条水厂至管网的输水管，25条管网管段，供水量为420 。该管网的拓扑结构 、管径、管长等基本信息如图所示，管网覆盖区域面积约为3 。假设水源点及用户高程均为0 ，水厂的出厂扬程为35 。各节点流量及管段长度已知，管材采用球墨铸铁管, 管段的粗糙系数为100，采用海曾威廉公式计算管段沿程水头损失。

图1 某给水管网

Fig.1 A water supply network

管网的年折旧及大修费费率 5，建设投资回收期 20，设计年限内供水能量变化系数 0.4，电价 50（分/ ），水泵站的效率 0.7，统计常数 62.11， 1979.7，指数 1.486。

采用Matlab编制程序，管网的水力计算调用EPANET2.0。改进NSGA-Ⅱ算法的控制参数取：种群规模100，采用联赛选择，采用均匀变异，算数交叉，最大迭代次数1000，变异概率0.05，交叉概率0.8。NSGA-Ⅱ算法参数与改进NSGA-Ⅱ算法参数选取相同，计算结果见表1。

表1 两种优化方法结果比较

通过表2可以看出，采用改进NSGA-Ⅱ算法用于给水管网优化设计，无论是经济性还是可靠性均优于传统的NSGA-Ⅱ算法。

4 结论

为较好地解决给水管网优化设计中的经济性和可靠性问题。本文从管网费用最小和水力可靠度、熵值可靠度最大角度出发，建立了管网多目标优化模型，在传统NSGA-Ⅱ算法的基础上，采用算术交叉算子，提高了算法的搜索性能，同时提出了累积排序适应度赋值策略，更好地维持了种群的多样性。实例分析结果表明，改进NSGA-Ⅱ算法的优化结果优于传统的NSGA-Ⅱ算法。

参考文献

[1]周荣敏，雷延峰.管网最优化理论与技术―遗传算法与神经网络[M].郑州:黄河水利出版社,2002.

[2]Cunha, M.D.C., Sousa,J. Water distri-bution network design optimaization: Simulated annealing approach. WaterResour.Plan.Manage.,1999,125(4):215-221.

[3] Tanyimboth, Clarirte. A Maximum Entropy Based Approach to the Layout Optimization of water Distribution Systems[J].Civil Engineering and Environmental Systems. 2002, 19(3): 223-253.

[4]严煦世，刘遂庆.给排水管网系统[M]. 北京:建筑工业出版社,2002.

[5]袁一星,高金良，赵洪宾等.给水管网运行工况计算分析系统的研究[J].哈尔滨建筑大学学报，1996,29（5）：59-63.

[6]伍悦滨.给水管网系统性能评价方法的研究[D].哈尔滨:哈尔滨建筑大学,2000.

[7]Awumah, K.e.a. Entropy_based redu-ndancy measures in water distributionnetworks. Hydraulic Engineering,1991,117(5):595-614.

[8]陈文平，康立山.基于多父体杂交的多目标演化优化算法[J].计算机工程与应用,2003；39(10):79-82.

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