归纳推理与学生逻辑思维能力的培养

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数学方法和学生的逻辑思维能力是密切相关的.逻辑思维能力中包括分析综合能力、抽象概括能力和论证能力. 因此，使学生切实学好数学基础知识和必要的逻辑知识，提高分析和综合、抽象和概括、推理论证的能力是培养学生逻辑思维能力的重要途径.

一、使学生切实掌握数学基础知识及必要的逻辑知识

数学学科的基础知识，是思维的依据，而这些基础知识严密的逻辑体系，又是逻辑思维的基本形式和方法在演绎过程中的充分显示和运用. 教学中应该高度重视这一点，在指导学生循序渐进地学习数学基础知识的同时，适当地介绍有关逻辑的初步知识，要求学生有意识地去领会、理解并逐步掌握这些逻辑思维的基本形式和方法，保证思维的正确性和合理性. 例如，结合教学内容，适时地介绍概念定义的方式、概念的正确分类方法、推理与证明的规则和方法等，就可以避免和防止诸如分类的重复和遗漏、没有依据的推理证明等逻辑错误，就可以让学生逐步体验数学知识的逻辑体系，提高逻辑思维能力.

二、提高学生分析和综合、抽象与概括以及推理证明的能力

在数学中，对用数学符号表示的文字或图形的分解与组合、寻求证明途径、推理论证都离不开分析与综合，在教学中结合具体实例，经常反复地阐明这种思维方法，会促进学生逻辑思维能力的提高.分析与综合在证明时思考方向的不同可分为分析法与综合法. 分析与综合从逻辑思维方法的角度来看，还有另一种含义：分析就是把思维对象分成若干部分来考察；综合就是把各部分考察的结果结合起来，形成对整体的认识. 在教学中，经常地运用这种方法，阐明其思维过程，树立“化整为零、积零为整”的思想观点，是培养学生逻辑思维能力的有效途径.

例1 求证mn（m2-n2）（m、n为整数）一定是3的倍数.

这道题我们可以分以下几个步骤考察：

①若m、n有一个是3的倍数，结论成立.

②若m、n都不是3的倍数，且m，n被3除的余数相同，则3│（m-n），即3│mn（m2-n2）；

③若m、n都不是3的倍数且被3除后的余数不相同，一为3k+1型，一为3k+2型（k为整数），则3│（m+n），即3│mn（m2-n2）.

综合以上三个步骤的考察，即可得出原命题的正确性.

抽象与概括也是一种逻辑思维的方法. 在数学中，要形成概念，获得命题，建立公式和归纳法则等都需要运用它，数学中若能有意识地经常展现这一逻辑方法的思维过程，也是培养学生逻辑思维的有效途径.

例2 对于 │a│（a为任意实数）的教学，可采用如下表格填空：

由上述表格中的规律概括出结论：

│a│=a（a>0）

0（a=0）

-a（a

三、加强推理与证明的严格训练

首先，教师在数学教学中，从语言到板书要求严格遵守逻辑规律，正确运用推理形式，作出示范，这对中学生潜移默化的影响是相当大的. 长期做好这项工作是十分必要的.

其次，必须教育学生养成严谨推理和证明的习惯，要通过课堂提问、课堂练习、课外练习，及时发现和了解学生在推理证明方向的困难和缺陷，并帮助他们克服改正.

再次，随时指出并纠正学生在推理论证中犯的错误. 这也是进行推理和证明训练不可忽视的工作.

例3 求证：1=2.

证明：假设a=b，那么a2=ab

a2-b2=ab-b2

（a+b）（a-b）=b（a-b），即a+b=b

2b=b 故 2=1

显然，这是假证明，错误在于把等式性质的使用范围弄错了，由（a+b）（a-b）=b（a-b）到a+b=b造成错误.