利用导数处理与不等式有关的问题
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导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。
一、利用导数证明不等式
（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式
我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：
1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。
例1：x>0时,求证；x-－ln(1+x)＜0
证明：设f(x)= x-－ln(1+x)(x>0), 则f (x)=-
x>0,f(x)
所以x>0时,f(x)
2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。
例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求证:ab>ba,(e为自然对数的底)
证：要证ab>ba只需证lnab>lnba 即证：blna－alnb>0
设f(x)=xlna－alnx(x>a>e)；则f'(x)=lna－ ,
a>e,x>a lna>1,
b>a,f(b)>f(a)；故blna－alnb>alna－alna=0；即blna>alnb
所以ab>ba成立。
（注意，此题若以a为自变量构造函数f(x)=blnx－xlnb (e
则f′(x)=－lnb，f′(x)>0时x
故f(x)在区间（e, b）上的递减,但要证明e> 则需另费周折，因此，本题还是选择以a为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。）
（二）、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。
导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。
例3、gA(x)=（-1）2 +（-1）2的定义域是A=[a,b] ，其中a,b∈R+,a
求证:> （k∈N*）
证明：由题知g'(x)=-+-
g'(x)=-+-=0时x4－ax3－a2b2+a2bx=0
即(x4－a2b2)－ax(x2－ab)=0,化简得(x2－ab)(x2－ax+ab)=0
所以x2－ax+ab =0或x2－ab=0，0
由x2－ab=0解得x=或x=- （舍）
故g' (x)>0时x∈[,b] g' (x)
因而g(x)在[,b] 上递增，在[a,] 上递减
所以x= 是gA(x)的极小值点，
又gA(x)在区间（a,b） 只有一个极值
gA()=2（-1）2 是gA(x)的最小值。
所以，的最小值为=2 （-1）2=2（-1）2=
的最小值为2（-1）2=（）2
又+≥2=
x1∈Ik=[k2,(k+1)2] , x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2 ]时
>（k∈N*）成立
3、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。
例4：f(x)=x3－x, x1,x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤
证明：f '(x)=x2－1, x∈[－1,1]时,f '(x)≤0,
f(x)在[－1,1]上递减.故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)=
最小值为f(1)=- ,即f(x)在 [－1,1]上的值域为 [-,]；
所以x1,x2∈[－1,1]时，|f(x1)|≤ , |f(x2)|≤,
即有 |f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|+ |f(x2)|≤+=
二、利用导数解决不等式恒成立问题
不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m
例5、已知函数f(x)=（+）9 （a∈R）,对f(x)定义域内任意的x的值，
f(x)≥27恒成立，求a的取值范围
解：函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f(x)≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立
知+≥= 对一切x∈（0，+∞）恒成立，
即a≥-x 对x∈（0，+∞）恒成立
设h(x)=-x则h′(x)=- ，由h′(x)=0
解x=
h′(x)>0时，解得0＜x＜ , h′(x)＞0时x＞
所以h(x)在（0， ）上递增，在（ ，+∞）上递减,
故h(x)的最大值为h（）= ，所以a≥
三、利用导数解不等式
例6：函数f(x)=-ax（a＞0） ,解不等式f(x)≤1
解：由题知f'(x)=-a=-a
①-1
a≥1时,f (x)
又f(0)=1，所以x≥0时f(x)≤f(0)=1，
即a≥1时f(x)≤1的解为 {x|x≥0}
②0
则x=或x=-
f' (x)>0时解得x∈（-∞，-） ∪（,+∞）
f' (x)
故f(x)在（-,）上单调递减，
f(x)在（-∞，-） 或（,+∞） 上单调递增，
又f(x)=1时解得x=0或x=，
且0
所以0
由上得，a≥1时f(x)≤1的解为 {x|x≥0}
总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。
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