例谈构造对偶式解题

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根据题中某式A的结构特征,构造A的对偶式B,在利用A与B之间的运算(主要是加、减、乘)求得A、B的两种关系式,从而使问题获得解决,这种方法就叫做构造对偶式解题.

常见的对偶式有a+b与a-b,ab与

a b,

sinx与

cosx,

tanx与cotx,

an a+b与

an a-b等.

例1计算：(1)

sin220°+cos280°+3sin20°cos80°.

(2)sin10°sin50°sin70°.

解: (1)设A=sin220°+cos280°+

3sin20°cos80°.

构造A的对偶式B=cos220°+sin280°-

3cos20°sin80°,得

A+B=2-3sin60°=1 2

A-B=cos160°-cos40°+3

sin100°=0

,

所以A=B=1 4.

即原式=1 4.

(2)设x=sin10°sin50°sin70°,构造x的对偶式

y=cos10°cos50°cos70°,得

xy=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°

=1 8sin20°sin100°sin140°

=1 8

cos10°cos50°cos70°=1 8y.

又y≠0，所以x=1 8.

例2(1)求cos2 5π+cos4 5π的值.

(2)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

解:(1)设

A=cos2 5π+cos4 5π,

B=cos2 5π-cos4 5π，得

2AB=2(cos22 5π-cos24 5π

)

=cos4 5π-cos8 5

π=-B.

又B≠0，所以

A=cos2 5π+cos4 5

π=-1 2.

(2)设A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°

,B=cos220°+sin50°+cos20°sin50°.

得A+B=2+sin70°.

A-B=-cos40°+cos100°+sin(-30°)=-

1 2-sin70°.

从而可得，A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°=

3 4.

例3(普通高中课程标准实验教科书《数学•A版必修④》(人民教育出版社2007年第2版)第147页复习参考题B组第4题)已知

cos(π 4+x)=

3 5

,17π 12

sin2x+2sin2x 1-tanx.

解法1:由

cos(π 4+x)=3 5

,5π 3

，得

sin(π 4+x)=-4 5

，所以

cosx-sinx=

3 5

2

cosx+sinx=-4 5

2

,

sinx=-

7 10

2

cosx=-2 10

所以

sin2x+2sin2x 1-tanx=-

28 75.

解法2:由

cos(π 4+x)=3 5，得

cosx-sinx=3 52，设

cosx+sinx=m，把这两式相加、相减可得

2cosx=m+3 52,2sinx=m-

3 52

再把它们平方相加，可得m=±4 52.又由

17π 12

sinx

m=-4 52，所以

sinx=-7 10

2,cosx=-2 10

,sin2x+2sin2x 1-tanx

=-28 75.

例4(2006全国高考卷Ⅱ理科数学第12题)函数

f (x)=∑〖DD(〗19 n=1〖DD)〗|x-n|的最小值为()

(A) 190 (B) 171 (C) 90 (D) 45

解:由f (x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|,得

f (x)=|x-19|+|x-18|+…+|x-1|

所以2f (x)=(|x-1|+|x-19|)+(|x-2|+|x-18|)+…+

(|x-19|+|x-1|)

再由绝对值不等式,可得

当且仅当x=10时, 取到最小值,且最小值是90.选(C).

例5 若实数

x,y满足

x2-3xy+y2=2,则x2+y2的取值范围是 .

解:设x=u+v,y=u-v,得

5v2-u2=2,所以v2=u2+2 5

≥2 5.

x2+y2=4(3v2-1)≥4 5,所以

x2+y2的取值范围是［4 5,+∞).

例6求函数

f (x)=x+4 x(1≤x≤3)的值域.

解:构造函数

f (x)的对偶函数

g(x)=

x-4 x(1≤x≤3),得增函数

g(x)的值域是

［-3,5 3］.

又f 2(x)=g2(x)+16,f (x)>0,从而可得

f (x)的值域是［4,5］.

例7求函数f (x)=2x-1+

32-x(1≤x≤2)的值域.

解:构造函数

f (x)的对偶函数

g(x)=3x-1-2

2-x(1≤x≤2),得增函数g(x)的值域是［-2,3］.

又f 2(x)+g2(x)=13,f (x)>0,从而可得f (x)的值域是

［2,13］

.

例8解方程

2+2+x=x

.

解:设

2+x=y,得

2+x=y

2+y=x

平方相减后可求得原方程的解为x=2.

例9解方程

x-1 x+

1-1 x=x.

解:设a=x-1 x，

b=1-1 x,

得a+b=x.

因为x≠0，所以a-b=a2-b2 a+b

=x-1 x=1-1 x.

得2a=x+(1-1 x)=a2+1，解得

a=1,x=1±5 2.

因为x≥0，所以原方程的解是x=1+5 2.

例10(2007福建高考卷第22(III)题)已知函数

f (x)=ex-kx,x∈R,

设函数F(x)=f (x)+f (-x)，求证：F(1)F(2)…F(n)>(en+1+2)

n 2(n∈Ｎ*).

证明:由

F(x)=f (x)+f (-x)=ex+e-x,得

F(x1)F(x2)=ex1+x2+e-(x1+x2)

+ex1-x2+

e-x1+x2>ex1+x2+2.

所以F(1)F(n)>en+1+2,F(2)F(n-1)>en+1+2,…,F(n)F(1)

>en+1+2.

把它们相乘,即得要证结论成立.

例11求

(x+2)2n+1

的展开式中x的整数次幂项的系数之和.

解:设

A=(x+2)2n+1,B=

(x-2)2n+1

,f (x)=A+B=(x+2)2n+1+(

x-2)2n+1.

由二项式定理可得所求答案为

f (1) 2

=32n+1-1 2.

例12若m∈N*，求证：大于

(3+1)2m的最小整数可被

2m+1整除.

证明:设

I=(3+1)2m+

(3-1)2m，得

I=(4+23)m+(4-23)m=2m

［(2+3)m+

(2-3)m］

由二项式定理展开后，可得

2m+1|I.

又0

例13 设x1,x2,…,xn∈R+,∑〖DD(〗n i=1〖DD)〗xi=1,求证：

x21 x1+x2+

x22 x2+x3+…+

x2n-1 xn-1+xn+

x2n xn+x1≥1 2.

证明:设

A=x21 x1+x2

+x22

x2+x3+…+

x2n-1 xn-1+xn

+x2n

xn+x1.

构造A的对偶式 B=x22

x1+x2

+x23 x2+x3+…+

x2n xn-1+xn

+x21 xn+x1

由均值不等式,得

A+B=x21+x22 x1+x2

+x22+x23

x2+x3+…+

x2n-1+x2n

xn-1+xn+

x2n+x21

xn+x1

≥1 2

(x1+x2)+1 2(x2+x3)+…+

1 2(xn-1+xn)+

1 2(xn+x1)=1.

A-B=x21-x22

x1+x2

+x22-x23

x2+x3+…+

x2n-1-x2n

xn-1+xn

+x2n-x21

xn+x1

≥(x1-x2)+(x2-x3)+…+(xn-1-xn)+

(xn-x1)=0.

可得A≥1 2,要证结论成立.

例14设x,y,z∈(0,1),求证

1 1-x+y+1 1-y+z

+1 1-z+x≥3

.

证明:令

A=1 1-x+y

+1 1-y+z

+1 1-z+x

B=(1-x+y)+(1-y+z)+(1-z+x)

由均值不等式,可得

A+B≥6,又

B=3,所以A≥3,即要证结论成立.

例15求证:

1 2•3 4•5 6•

…•2n-1 2n

证明:设

A=1 2•

3 4•5 6•…•

2n-1 2n,B=

2 3•4 5•

6 7•…

•2n

2n+1.

由0

A2

A=1 2•3 4•5 6•…•

2n-1 2n

解答2009年高考山东卷理科第20题第(2)问、2009年高考广东卷理科压轴题第(2)问的左边和2008年高考福建卷理科压轴题最后一问、2007年高考重庆卷理科第21题第(2)问、1998年高考全国卷文、理科压轴题第(2)问、1985年高考上海理科卷第8题这七道高考题就是分别要证明(本文中的n∈N* )：

3 2 •5 4•…•

2n+1 2n>n+1①

1•3•5•…•（2n-1)

2•4•6•…•（2n)

②

3 2• 6 5•…•

3n 3n-1>

〖KF(S〗3[]3n+2 2

③

2 1•4 3•…•

2n 2n-1

>2n+1

④

2 1•5 4•…•

3n-1

3n-2>

3[]3n+1

⑤

4 3•6 5

•…•

2n 2n-1

>2n+1 2

⑥

下面用构造对偶式的方法给出不等式①~⑥的简洁证明(因为②、④、⑥等价，所以只证①、②、③、⑤)：

①的证明,设

A=

3 2•5 4•…

2n+1 2n，

B=4 3

•6 5•…•2n+2 2n+1

得

AB=3 2•4 3

•5 4•6 5

•…•2n+1 2n•

2n+2 2n+1

=

2n+2 2=n+1.

因为A>B>0，所以

A2>AB=n+1，

A>n+1

得欲证成立.

注:(1)由该证明还可得

B2

(2)设A=3 2•

5 4•…•

2n+1 2n，C=

2 1•4 3•…

•

2n 2n-1,得

AC=2n+1.由0

A

(3)对于不等式①、②、③、⑤，读者均可像(1)、(2)这样研究.

②的证明,设A=1•3•5•…（2n-1)

2•4•6•…•（2n)，B=

2•4•6•…•（2n)

3•5•7•…（2n+1),

得AB=1 2n+1.由

A

③的证明,设

A=3 2

•6 5 •…•3n 3n-1，

B=4 3•7 6•…•3n+1

3n,C=5 4•8 7•…

•3n+2 3n+1

得

ABC=

3n+2 2

.由A>B>C，得A>3[]3n+2 2，所以欲证成立.

⑤的证明,设

A=2 1•5 4•…

•3n-1 3n-2，

B=3 2•6 5

•…•3n 3n-1,C=

4 3

•7 6•…•3n+1

3n

得

ABC=3n+1.由A>B>C>0，得

A>3[]3n+1，所以欲证成立.