曲线上某一点处的切线方程

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【摘 要】 曲线上某一点处的切线方程的三种类型及其解法：第一种已知曲线上任意一点的坐标求切线方程；第二种已知曲线上任意一点的横坐标求切线方程；第三种已知曲线上任意一点处的斜率求切线方程。

【关键词】 曲线；切线方程；三种类型；解法

导数是中学数学选学内容中较为重要的知识，近几年高考对导数的考察每年都有，考察时以求曲线上某一点处的切线方程为题目的问题比较多，约占10分左右。在此类问题当中，导数的解题地位已经由以前只是在解决问题中起辅助作用上升为分析问题，解决问题是必不可少的工具。因此本人根据近几年的高考和本人的一些思考和见解，现将该问题做一归纳，得到如下三种情形。

第一种已知曲线上任意一点的坐标求切线方程。

例如，求曲线y=x3在点（1，1）的切线方程。分析如下：要求切线方程需知道点和斜率。点已知，故只求斜率，我们知道曲线上某一点出的导数的几何意义是曲线上某一点处的导函数的函数值是该点处的切线的斜率。即k=y'x=x0故，

解答如下：由k=y'x=x0=3x02=3×12=3 。由直线方程的点斜式y-y'=k（x-x0）得y-1=3（x-1），即3x-y-2=0。

第二种已知曲线上任意一点的横坐标求切线方程。

例如，求曲线y=x2在点（1，y0）的切线方程。

分析如下：如上题，需求切点和斜率。我们知道切点是一点二用即它既在曲线上，又在直线上。故用点在曲线上代入曲线方程求出切点，这样该问题就转变成第一种类型的问题了。

解答如下：点（1，y0）在曲线y=x3上，y=13=1即切点为（1，1）。后面解答和上面的一样的切线方程为3x-y-2=0。

第三种已知曲线上任意一点处的斜率求切线方程。

例如已知曲线y=x3在某一点处的切线的斜率为k=3，求该切线方程。

分析如下：由k=y'x=x0可解答得到x'，即已知切点的横坐标有转化为第二种类型了，在此类问题当中斜率是已知的，直接代入即可。

解答如下：由k=y'x=x0代入得3=3x2

x=±1 y=±1

即切点为（1，1），（-1，-1），斜率k=3，切线方程为y-1=3（x-1）或y+1=3（x+1）3x-y-2=0或3x-y+2=0。

例1：曲线y=4x-x3在点（-1，-3）处的切线方程是()。

A. y=7x+4 B. y=7x+2

C. y=x-4D. y=x-2

分析如下：该问题是上面三种类型中的第一种。故直接代入即可。

解答如下：k=y'x=x0=4-3x2=4-3×（-1）2=1，代入点斜式y-y'=k（x-x0）得y+3=x+1，即y=x-2，选D。

例2：已知直线：y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为（ ）。

A.3 B.-3 C.5 D. -5

分析如下：该问题是第二种类型的，用切点既在直线上，又在曲线上代入用解方程的思想解答。

解答如下：切点A（1，3）在直线y=kx+b上，3=k+1得k=2，又k=y'，x=x0=3x2+a=3×12+a即：2=3+a 得：a=-1。把a=-1，A（1，3）代入曲线y=x3+ax+b 得：b=3，选A。

总之，求曲线上某一点处的切线方程及其应用由以上部分可以看到，只要对该部分知识灵活应用就可以举一反三，掌握扎实。在高考中对该部分知识的问题一定能拿到一个满意的分数。以上部分只是本人的一点见解，望各位专家批评指正。