纠正错误 汲取教训

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一、混淆轴对称和轴对称图形的概念含义

例1 图1是机器人的“两只手”，小明说这“两只手”都是轴对称图形.这种说法对吗？

【错解】对.

【剖析】判断错误.如果把“两只手”看作一个图形，那么说图1这个“图形”是轴对称图形没错，但说图1中的“两只手”分别是轴对称图形显然是错误的.正确的说法是：图1中的“两只手”成轴对称.

例2 对于图2的“雪花折线图”，小新说它成轴对称.这样说可以吗？

【错解】可以.

【剖析】判断错误.如果把图2看作是由两个相同的一半组成的两个图形，那么就可以说这“两半图形”成轴对称.但对于整个图形，说它是成轴对称就错了.正确的说法是：图2是轴对称图形.

【剖析】产生上述错误的原因是未能正确理解图形成轴对称与轴对称图形这两个概念的含义.看完下文相信同学们一定能理清两者之间的关系了.

概念：（1）轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折后，与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中相互重合的点叫做对称点，这条直线叫做对称轴.

（2）轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折，对折后图形的一部分与另一部分完全重合，我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

区别：轴对称和轴对称图形是两个不同的概念.轴对称涉及两个图形，指的是两个图形的位置关系.它不仅与两个图形的形态、大小有关，而且与它们的位置有关.而轴对称图形是对一个图形而言，反映了一个图形的特征，是一个具有特殊形状的图形.具体地说，轴对称是指两个图形沿对称轴折叠后能重合，轴对称图形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合.

相同点：轴对称和轴对称图形都有对称轴，沿着对称轴对折后图形都完全重合.

联系：如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形.反之，如果把一个轴对称图形的对称轴两边的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称.

由以上概念的分析理解，我们可以简单地概括：轴对称指的是两个图形的位置关系，而轴对称图形指的是一个具有特殊形状的图形.

二、错将轴对称与全等画“=”

例3 小刚说图3中的两个“欢快小女孩”成轴对称.你认为小刚说得对吗？

【错解】对.

【剖析】图3中的两个“小女孩”的确是完全一样的，成轴对称的两个图形也是完全相同的，但除此之外，对于成轴对称的两图形还必须能够找到它们的对称轴，即把两个图形沿着某条直线对折，它们能够互相重合.图3中显然找不到这样的直线.因此，图3中的两个“欢快小女孩”不成轴对称.如果把第二个“小女孩”翻折180°（如图4），那么两个“小女孩”就成轴对称.但也要注意，如果其中一个“小女孩”再“跳”高一点（如图5），那么“小女孩”又不成轴对称了.

三、镜子里的轴对称顾此失彼

例4 小强站在镜子前看见镜子里的墙上电子挂钟的读数如图6所示，此时实际的读数是多少？

【错解一】15：20；

【错解二】05：21.

【剖析】物体在镜子里的图像关于镜面成轴对称，镜子改变了物体的左右方向.一行数字中不仅每个数字被镜子改变左右结构，而且整行数字的左右顺序也被改变.0和1在镜子里仍然分别是0和1，2被改变成5，5被改变成2；其次，02：51的顺序被改变成15：20.因此，正确的答案是12：50.

解决文字映在镜子里的题型，不仅要考虑到每个字被改变，同时还要考虑到整行字的顺序也被改变.

四、对于无图问题，考虑欠周全，造成漏解

例5 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形顶角的度数.

【错解】答案为45°.

【剖析】就此题而言，等腰三角形一腰上的高既可以在等腰三角形内，也可以在等腰三角形外，需分类讨论.

【正解】①当高在等腰三角形内部时，顶角为45°；

②当高在等腰三角形外部时，顶角为135°.

故此等腰三角形的顶角为45°或135°.

对于无图问题由于表述的不确定性，常需分情况讨论，尤其是高，要分形内、形外.

五、利用轴对称变换求最小值

例6 如图7所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？

【错解】连接AB，并延长AB与直线l相交于点P.

【剖析】理解为两点之间线段最短，忽略了要在直线l上找一点，到两点的距离和最短这个条件.

【正解】如图8，只要画出A点关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，则P点就是所求.这时PA+PB=PA′+PB为最小，因为两点之间线段最短.

（证明：如图9，在l上任取一点P1，连接P1A，P1B，P1A′，因为P1A+P1B=P1A′+P1B>BA′=PA+PB，这是根据三角形两边之和大于第三边得出，所以结论成立.）