集合问题错解诊断

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集合是高考的必考内容，以选择题、填空题为主，难度不大，属高考试题中的容易题． 但它涉及到中学数学的各个分支，稍不留心，就会出错． 本文罗列了一些集合高考题或典型例题的常见错解，并加以诊断，以期引起同学们的重视．

一、 不清楚集合中元素的属性

例1 设集合A=｛抛物线｝，B=｛直线｝，集合A∩B中有（ ）个元素．

A． 0 B． 1 C． 0或1 D． 0、1或2

错解 由直线与抛物线的位置关系可知，它们的交点可能有0、1或2个. 故选D．

诊断 上述解答把集合A、B中元素的属性弄错了，误认为这两个集合都是点集，由思维定势错误地认为本题是求一条直线与一条抛物线的交点的个数，从而导致错误．

处方 因集合A、B的属性不相同，这两个集合的代表元素分别是抛物线与直线，那么两者的公共部分是?芰． 故选A．

二、 不清楚集合的代表元素是什么

例2 已知集合M=｛y|y=x+■，x∈R｝，N=｛x|y=■｝，则M∩N=（ ）

A. ［0，1］ B． ［0，■］ C． ［-3，1］ D． ［-3，■］

错解 显然M=｛y|y=x+■，x∈R｝=（-∞，1］，N=｛x|y=■｝=｛y|0≤y≤3｝=［0，3］，于是M∩N=［0，1］． 故选A.

诊断 上述解答的错因在于对集合中的代表元素不清楚．集合M中的代表元素是y，表示函数的值域，但集合N中的元素为x，表示函数的定义域．

处方 令t=■，则t≥0且x=■，从而y=■+t=-■（t-1）2+1， 则ymax=1，即M=（-∞，1］. 而函数y=■的定义域是［-3，3］，从而M∩N=（-∞，1］∩［-3，3］=［-3，1］． 故选C．

三、 没有检验元素的互异性

例3 已知集合A=｛1，3，a｝，B=｛1，a2-a+1｝，且A?勐B，则实数a的值是 ．

错解 A?勐B，则集合B中的每一个元素都是集合A的元素．

（1） a2-a+1=3，则a2-a-2=0，解得a=-1或a=2．

（2） a2-a+1=a，解得a=1．

故填-1，1，2．

诊断 在上述解答中，若a=1，则集合B中有两个相同的元素1，这与集合中元素的互异性矛盾．

处方 依题意，（1） a2-a+1=3，则a2-a-2=0，解得a=-1或a=2． （2） a2-a+1=a，则a2-2a+1=0，即a=1． 从而a＝-1，1，2． 而当a＝1时，B中有两个相同的元素1，与互异性矛盾，应舍去． 故填-1，2．

四、 忽视空集的特殊性

例4 已知集合A=｛x|x2-3x+2=0｝，且集合B=｛x|mx-2=0｝，若A∩B=B． 求由实数m构成的集合．

错解 由已知得A=｛x|x2-3x+2=0｝=｛1，2｝，又因A∩B=B，则B?哿A．

而B=｛x|mx-2=0｝=｛x|x=■｝，从而■=1或■=2，即m=2或m=1．

故由实数m所构成的集合为｛1，2｝．

诊断 上述解答忽视了B=?芰，即m=0的情形．

处方 （1） 当m≠0时，由错解知：m=2或m=1．

（2） 当m=0时，方程mx-2=0无解，此时B=?芰，满足题意．

故由实数m构成的集合为｛0，1，2｝．

五、 忽视端点值的取舍

例5 设不等式|x|

错解 依题意得A=｛x|-1

因A∪B=B，则A?哿B，如下图：

则a+11，解得-3

诊断 上述解答中忽视了端点处的值也成立．

处方 因A=｛x|-1

解得-3≤a≤-2． 故a的取值范围为［-3，-2］．

六、 忽视隐含条件的挖掘

例6 设全集U=｛2，3，a2+2a-3｝，A=｛|2a-1|，2｝，若 ■U A=｛5｝，则实数a的值是 ．

错解 ■U A=｛5｝， 5∈U且5?埸A，从而a2+2a-3=5，解得a=2，或a=-4． 故填-4或2．

诊断 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为U是全集，所以首先必须满足A?哿U．

处方 ■U A=｛5｝， 5∈U且5?埸A，从而a2+2a-3=5，解得a=2，或a=-4． 当a=2时，|2a-1|=3∈U，符合题意；当a=-4时，|2a-1|=9?埸U，不符合题意． 故a=2．

七、 运用公式不熟练

例7 满足条件｛1｝?芴A?哿｛1，2，3，4，5｝的集合A的个数是 ．

错解1 集合｛1，2，3，4，5｝中一共有五个元素，其子集的个数是25=32. 故填32．

错解2 集合｛1，2，3，4，5｝中一共有五个元素，集合A中包含了元素1，其子集的个数是25-1=16. 故填16．

诊断 集合｛a1，a2，…，an｝中含有n个元素，其子集的个数为2n． 在本题中，集合A是集合｛1，2，3，4，5｝的子集，但集合｛1｝真包含于集合A， 因此不能生硬地套用公式.

处方 集合｛1，2，3，4，5｝一共有5个元素，集合A是该集合的子集，但A中必须包括元素1，因此集合A可从元素2、3、4、5中任选元素，问题转化为求元素2、3、4、5所构成的集合的非空子集的个数，共有24-1=15. 故填15．

八、 旧知识的错误迁移

例8 设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M-P=｛x|x∈M且x?埸P｝，则M-（M-P）= ．

A． P B． M

C． M∩P D． M∪P

错解 因集合M-（M-P）中不含集合的M部分，从而选A．

分析 这是集合创新题，“M-P”是同学们在中学不曾学过的一种集合运算，许多同学误以为M-（M-P）=M-M+P=P，没有紧扣集合中元素的属性来解题，因旧知识的错误迁移导致错误．

处方 理解新运算差集M-P=｛x|x∈M且x?埸P｝，即元素属于被减集合而不属于减集合，结合上图可知M-（M-P）所指应为两集合的公共部分，即M∩P． 故选C．