常见错例面面观

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锐角三角函数在中考中的考查一般不会单独出现较大难度的考题，但是很多同学在解题中错误百出，失分严重. 下面就平时同学们在锐角三角函数问题中一些常见的错误进行举例分析，以引起大家的注意.

1. 概念理解不透彻

例1 在RtABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的三角函数值（ ）.

A. 都扩大3倍 B. 都扩大4倍

C. 不能确定 D. 没有变化

【错解】A.

【分析】三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边或直角边与直角边的比值不变. 错解没有真正理解三角函数的概念.

【正解】D. 三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，大小只与角的度数有关，与边的大小无关.

2. 忽视求三角函数的限制条件

例2 （2012・江西内江）如图1，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】在本题的解答过程中，根据sinA=，部分同学会错误地得出sinA=，导致结果与选项不符，要么随便选一个，降低了正确率，要么开始重新审题，浪费了宝贵的考试时间. 这个错误的根源在于没有真正理解正弦的概念，没有掌握锐角三角函数的使用条件：在直角三角形中. 因此本题需先寻找∠A所在的直角三角形，而图中∠A所在的ABC并不是直角三角形，这就需要添加辅助线，构造直角三角形. 如图1，连接CD，得到CDAB，sinA===.

在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高（形内或者形外）构造直角三角形.

3. 忽视分类讨论

例3 RtABC的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.

【错解】6和8是直角三角形的两边，斜边是10，最小角的正弦值是.

【分析】已知条件中并没有指明6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：

（1） 6和8是两条直角边；

（2） 6是直角边，8是斜边.

很多同学错在忽视了第2种情况.

【正解】当6和8是两条直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值是.

当6是直角边，8是斜边时，则另一直角边是=2，所以最小角的正弦值是=. 综上可知，最小角的正弦值是或.

4. 忽视锐角三角函数的范围

例4 已知α为锐角，4tan2α-3=0，求tanα.

【错解】4tan2α-3=0，tan2α=，

tanα=±.

【分析】锐角三角函数值等于相应直角三角形的边的比，所以tanα>0.

【正解】4tan2α-3=0，tan2α=，tanα=

±. tanα>0，tanα=.

锐角三角函数值都是正数，在求解时不能忘记.

5. 混淆特殊角三角函数值的变化规律

例5 锐角α满足

A. 30°

C. 45°

【错解】A.

【分析】正弦值与正切值都随锐角度数的增大而增大，而余弦值是随锐角度数的增大而减小. 本题错在没有准确掌握特殊角的三角函数，将特殊角的三角函数值张冠李戴，混淆了锐角的正弦值、余弦值的变化规律.

【正解】cos60°=，cos45°=，又余弦值随锐角度数的增大而减小，cos60°

在锐角范围内，正弦与正切可以看成是单调递增函数，即度数大三角函数值就大；而余弦正好相反.

6. 主观臆断

例6 在RtABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin=______.

【错解】sinA===，

sin=.

【分析】本题错在将∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，两者显然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本题正确的解法是先求出∠A的度数，然后再求其正弦值.

【正解】sinA===，

∠A=60°，∠A=30°. sin=.

求一个角一半的三角函数值，应先求出这个角的度数，然后再求其三角函数值，一定不能用三角函数值的一半作为角的一半的三角函数值.

以上典型错误选自同学们的平时作业和练习当中，同学们不仅要知道这些地方容易出错，更要对错解进行认真分析，了解产生错解的各种原因，逐渐形成良好的知识结构和严谨的思维品质，从而避免类似的错误再度发生.

（作者单位：苏州工业园区星湾学校）