第32讲 事件与概率
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考情分析
事件与概率是高中数学中的基础知识，统计表明，试题仍以中低档题为主，很有可能在选择、填空题中考查.通常设置在选填题的靠前位置上，一般为基础过关题.从考查内容上看，事件与概率试题常以考查互斥和对立的理解、概率的定义及概率的性质.各地文、理科试卷在此部分差别较大，理科更注重后面两种概率模型的应用，而文科多是考查对概念的理解.
命题特点
事件与概率在近年高考命题中有以下特点：（1）事件的考查仍稳中求新、稳中求活.这部分题以基础题型为主， 大多数是选择题、填空题，一般难度不大，属于基础题，重要考查对立和互斥的联系与区别.（2）概率的考查通常考查一些简单的计算，对于复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率.涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解.
1. 互斥与对立的区别
例1 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛. 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.
（1）恰有1名男生和恰有2名男生；
（2）至少有1名男生和至少有1名女生；
（3）至少有1名男生和全是男生；
（4）至少有1名男生和全是女生.
解析 应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系.
（1）在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.
（2）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.不可能是互斥事件，从而也不是对立事件.
（3）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.不可能是互斥事件，也不是对立事件.
（4）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是互斥事件，也是对立事件.
2. 概率与频率的关系
例2 某市统计的2010～2013年新生婴儿数及其中男婴数（单位：人）见下表：
[时间＼&2010年＼&2011年＼&2012年＼&2013年＼&新生婴儿数＼&21840＼&23070＼&20094＼&19982＼&男婴数＼&11453＼&12031＼&10297＼&10242＼&]
（1）试计算男婴各年的出生频率；（精确到0.001）
（2）该市男婴出生的概率约是多少？
解析 （1）2010年男婴出生的频率为[f（nA）=nAn=][1145321840]≈0.524.
同理可求得2011年、2012年和2013年男婴出生的频率分别约为0.521，0.512，0.513.
（2）由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.
3. 概率的性质
例3 袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是[13]，得到黑球或黄球的概率是[512]，得到黄球或绿球的概率也是[512].
（1）求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；
（2）求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.
解析 （1）从袋中任取一球，记事件[A]为“得到红球”，[B]为“得到黑球”，[C]为“得到黄球”，[D]为“得到绿球”，则事件[A，B，C，D]两两互斥.
由已知[P（A）=13，][P（B+C）=P（B）+P（C）=512，][P（C+D）=][P（C）+P（D）=512].
[P（B+C+D）=1-P（A）=1-13=23].
[B与C+D，B+C与D]也互斥，
[P（B）=P（B+C+D）-P（C+D）=23-512=14].
[P（D）=P（B+C+D）-P（B+C）=23-512=14]. [P（C）=1-P（A+B+D）=1-[P（A）+P（B）+P（D）]]
[=1-（13+14+14）=1-56=16].
故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是[14]，[16]，[14].
（2）得到的球既不是黑球也不是绿球，
得到的球是红球或黄球，即事件[A+C].
[P（A+C）=P（A）+P（C）=13+16=12]，
故所求的概率是[12].
点拨 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母[Ω]表示.概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似值.
备考指南
要把握基础知识，在复习时，首先要把握概率与频率的关系，互斥与对立事件的区别，及互斥事件的可加性.
限时训练
1. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是[12]，乙获胜的概率是[13]，则[56]是 （ ）
A.乙胜的概率 B.乙不输的概率
C.甲胜的概率 D.甲不输的概率
2. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，若甲每局比赛获胜的概率均为[23]，则甲以3[∶]1获胜的概率为 （ ）
A. [827] B.[3281]
C.[6481] D.[49]
3. 从一副标准的52张扑克牌中任意抽一张，抽到黑色K的概率为 （ ）
A.[152] B.[112]
C. [126] D.[14]
4. 有5件产品.其中有3件一级品和2件二级品.从中任取两件，则以0.7为概率的是 （ ）
A.至多有1件一级品 B.恰有l件一级品
C.至少有1件一级品 D.都不是一级品
5. 下列说法正确的是 （ ）
A. 某事件发生的频率为P（A）=1.1
B. 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C. 小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件
D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
6.从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30，40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为 （ ）
A.0.3 B.0.5
C.0.8 D.0.7
7. 抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为 （ ）
A.至多两件次品 B.至多一件次品
C.至多两件正品 D.至少两件正品
8.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别写有1，2，3，4，5，6），若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是 （ ）
A. 一定出现“6点朝上”
B. 出现“6点朝上”的概率大于[16]
C. 出现“6点朝上”的概率等于[16]
D. 无法预测“6点朝上”的概率
9. 给出以下三个命题，其中真命题的个数是 （ ）
（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件
（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件
（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
10.在[ABC]中，角[A，B，C]所对的边分别是[a，b，c]，[A=30°]，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为[a，b]，则满足条件的三角形有两个解的概率是 （ ）
A.[16] B.[13]
C.[12] D.[34]
11.一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球.“取出的球是红球”的概率是________.
12.一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2，…，9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是________.
13.某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中，射中10环或7环的概率是________.
14.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________.
15.某篮球运动员在最近几场比赛中罚球的结果如下.
[投篮次数[n]＼&8＼&10＼&12＼&9＼&10＼&16＼&进球次数[m]＼&6＼&8＼&9＼&7＼&7＼&12＼&进球频率[mn]＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
16.下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1～5分五个档次.例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人.设x，y分别表示英语成绩和数学成绩.
（1）[x=4]的概率是多少？[x=4且y=3]的概率是多少？[x≥3]的概率是多少？
（2）[x=2]的概率是多少？[a+b]的值是多少？
17. 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其它垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计[1000]吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
[＼&“厨余垃圾”箱＼&“可回收物”箱＼&“其它垃圾”箱＼&厨余垃圾＼&400＼&100＼&100＼&可回收物＼&30＼&240＼&30＼&其它垃圾＼&20＼&20＼&60＼&]
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率.
18. 某企业生产的乒乓球被2013年亚运会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示.
[抽取球数[n]＼&50＼&100＼&200＼&500＼&1000＼&2000＼&优等品数[m]＼&45＼&92＼&194＼&470＼&954＼&1902＼&优等品频率[mn]＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]
（1）计算表中乒乓球优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）