周期函数定义之精析

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教材中写到：“对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f(x)就叫做周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。”教材中又说：“如果在周期函数f(x)所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。”

这是个内涵定义法，要正确理解周期函数的定义，应从定义的内涵（性质）和外延（对象）两个方面来分析，应注意以下几点：

1.式子f（x＋T）＝f（x）对定义域中的每一个值都成立。即定义域内任意一个x，式子都成立。而不能是“一个x”或“某些x”。

例如：由于sin（＋）＝sin，即sin（x＋）＝sinx.该式中x取时等式成立，能否断定 是sinx的周期呢？不能，因对于其他一些x值该式不一定成立。如x＝

时，sin（x＋）≠sinx。

另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了。

【例】函数y=sinx，x∈[0，100π]是周期为2π的周期函数吗？为什么？

解：不是周期函数，因为对于定义域中的x=99π时，（x+2π）∈[0，100π]，f（x+2π）

=f（x）不能成立，故函数y=sinx，x∈[0，

100π]不是周期为2π的周期函数。

2.周期函数的定义域不一定是全体实数，也不一定对称于原点。

例如：函数f（x）=√tanx是以π为周期的周期函数，它的定义域是{x|kx≤x＜kπ+ ，k∈Z}，既不是全体实数，也不关于原点对称。但是周期函数的定义域必须是向-∞和+∞两个方向无限延伸的。

3.式子f（x＋T）＝f（T）是对“x”而言。例如，由cos（＋2kπ）＝cos（k∈Z），是否可以说cos 的周期为2kπ呢？不能!因为cos（x＋2kπ）＝cos（x+4kπ），即cos （ x+4kπ）＝cos x（k∈Z），所以，cos 的周期是４kπ，而不是2kπ（k∈Z）。

4.不是每个周期函数都存在最小正周期。例如：常数函数f（x）＝Ｃ（常数），显然任何一个正数T都是f（x）的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f（x）＝Ｃ无最小正周期；又如：狄利克雷函数

，任何等于零的有理数都是它的周期，也不存在最小正周期。

5.周期函数的周期不唯一，也不一定是π的倍数。如果T是f（x）（x∈R）的周期，那么kT（k∈Z，且k≠0）也一定是f（x）的周期。定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，千万不要误认为T一定是 的倍数。众所周知，函数

的周期即最小正周期是 ，函数y＝Acos（ωx＋ ）的最小正周期也是 ，函数y＝Atan（ωx＋）的最小正周期是，不难看到，上述各函数的周期中都含有“π”，而且，同学们所见到的课本例题及习题中的周期函数的周期中也都含有“π”，于是，有的同学认为：周期函数的周期一定含“π”。

事实上，这种看法是错误的，实际上，有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：

例1：函数y＝cosπx的最小正周期是T＝＝2。

例2：若对于函数y＝f（x）定义域内的任何x的值，都有f（x＋1）＝f（x）成立，则由周期函数的定义可知，函数y＝f（x）是周期函数，且T＝1是其周期。

6.周期函数必须是函数，但周期性并不是三角函数所独有的。

实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y＝log2x，y＝|x|，y＝2x，y＝x2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y=x2(x∈R)在其定义域R内限制在（－1，1），然后将y=x2（－1＜x≤1）)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f（x）＝（x－2k）2（2k－1＜x≤2k＋1），k∈Z，如图：

例如：已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在R上的一个周期为2的函数ｇ(x)，使x∈(－1，1］时，ｇ(x)＝f(x)。

解：由ｇ(x)的周期性可画出ｇ(x)的图象。如图：

对于任意的x∈R，x一定在周期为2的区间（2ｎ-1，2ｎ+1]内，则x-2ｎ∈（-1，1］。

ｇ(x)＝ｇ（x-2ｎ）＝f（x-2ｎ）＝|x－2ｎ|，即

x-2n，2n＜x≤2n +1

-x+2n，2n-1＜x≤2n

同学们请注意，周期函数是高考中的一个热点，我们必须深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如。