立足考题本质,在探究中寻找通法

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高考试题是所有试题材料中的精品，是命题专家们智慧的结晶，它对高中的数学教学有一定的方向性和指引性。深入研究和学习高考试题，广大一线教学工作者能把握好教学方向，提高教学效率；面临高考压力的学生能克服盲目的题海战术，归纳提炼出知识脉络和解题方法。

本文以2008、2009两年高考数学江苏卷的解析几何试题为源头，运用方程思想对高考中出现的解析几何探索性命题作一个通法探究。

1.2008年高考数学江苏卷第18题

在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C。

（1）求实数b的取值范围；

（2）求圆C的方程；

（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论。

本题主要考查含参变量的二次函数、圆的方程与曲线过定点等有关知识。难在第（3）问，这是一个探索性命题，学生普遍不知从何入手，而其实质是证明曲线过定点问题。下面我给出如下解法，探究解决这一类问题的通法。

解：（3）圆C 必过定点。

证明：假设圆C过定点（x，y）（x，y不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为（y-1）b=x+y+2x-y，

关于b的方程对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，

则必有y-1=0x+y+2x-y=0

解之得：x=0y=1，或x=-2y=1

所以圆C 过定点（0，1），（-2，1）.

方法与规律：设所给曲线方程为F（x，y，a）=0（其中a为参数），若对任意参数a，要证明曲线恒过定点，则可以利用方程理论求出曲线所过定点。即假设曲线过定点M（x，y），则对任意参数a，F（x，y，a）=0恒成立。此时将F（x，y，a）=0看作是关于a的方程，则此方程有无数组解。因此，可以先将F（x，y，a）=0整理为a的方程，此时若能求得x、y，使关于a的方程的所有系数（包括常数项）均为0，那么点（x，y）就是所求定点；反之，如果这样的x、y不存在，那么曲线F（x，y，a）=0必不过定点。

2.2009年高考数学江苏卷第18题

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C∶（x+3）+（y-1）=4和圆C∶（x-4）+（y-5）=4。

（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l和l，它们分别与圆C和圆C相交，且直线l被圆C截得的弦长与直线l被圆C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

本题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式等基础知识。第（1）问比较简单，容易解答；第（2）问的实质是圆心C到直线l与圆心C到直线l的距离相等。

解：（2）设点P坐标为（m，n），直线l、l的方程分别为：

y-n=k（x-m），y-n=-（x-m），

即：kx-y+n-km=0，-x-y+n+m=0

因为直线l被圆C截得的弦长与直线l被圆C截得的弦长相等，且两圆半径相等。由垂径定理得：圆心C到直线l与圆心C直线l的距离相等。

故有：= ①

大多数基础知识把握牢固的学生，可以将问题化简到这一步，下面就不知如何继续了。此题实质还是可以将其看成关于k的方程，下面给出如下解法：

①式化简得：（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5

关于k的方程有无穷多解，则必有：2-m-n=0m-n-3=0，或m-n+8=0m+n-5=0，

解之得：m=-n=，或m=n=-，

所以点P坐标为（-，）或（，-）.

方法与规律：利用圆心C到直线l与圆心C直线l的距离相等建立关于m、n、k的等式F（m，n，k）=0，其中（m，n）为点P坐标，k为变参数。对于任意的参数k，等式F（m，n，k）=0恒成立。此时，将F（m，n，k）=0看作关于k的方程，则此方程有无数组解。因此，可以先将F（m，n，k）=0整理为k的方程，此时求m、n，使关于k的方程的所有系数（包括常数项）均为0，则（m，n）就是所求点P坐标。

3.通法应用举例

例1：已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线l的方程为x=-2，点P在准线l上，纵坐标为3t-（t∈R，且t≠0），点Q在y轴上，纵坐标为2t。

求证：直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，并求出圆M的方程。

解：由题意可知：P（-2，3t-），Q（0，2t）

则直线PQ的方程为：y-2t=x，

即（t-1）x+2ty-4t=0.

设定圆M的圆心为（x，0），半径为r（r＞0），直线PQ与圆M相切，

则=r

化简得：（x-r-4）t=x+r或（x+r-4）t=x-r

关于t的方程对任意t∈R，t≠0恒成立，

则必有：x-r-4=0x+r=0，或x+r-4=0x-r=0

解之得：x=2r=-2（舍），或x=2r=2，

所以直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，且圆M的方程为（x-2）+y=4.

点评：利用直线与圆相切建立关于x、r、t的等式F（x，r，t）=0，其中（x，0）为圆M圆心坐标，r为圆M半径，t为变参数。对于任意的参数t，等式F（x，r，t）=0恒成立。因此，可以先将F（x、r、t）=0整理为t的方程，此时求x、r，使关于t的方程的所有系数（包括常数项）均为0，则（x，0）、r就是所求圆M的圆心坐标和半径。

例2：已知圆C的方程为x+（y-2）=8，若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向圆C引切线，切点为Q，问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由。

解：假设存在一个定点M，恒有PM=PQ。

设M点坐标为（m，n），定直线y=x+t上任意一点P坐标为（x，x+t），

则有：=

化简得：（2m+2n-4）x=m+n-2nt+4t+4

关于x的方程对任意的x∈R恒成立，则必有2m+2n-4=0m+n-2nt+4t+4=0

消去m，得：n-（t+2）n+2t+4=0（*）

又由题意知，定直线y=x+t与圆x+（y-2）=8相离,

故有＞2，解之得：t＞6或t＜-2,

所以方程（*）的判别式Δ=（t+2）-4（2t+4）=（t-6）（t+2）＞0，

故方程（*）有解，

所以存在一个定点M，恒有PM=PQ.

点评：利用PM=PQ建立关于m、n、t的等式F（m，n，t），其中（m，n）为点M坐标，t为变参数。对于任意的参数t，等式F（m，n，t）=0恒成立。因此，可以先将F（m，n，t）=0整理为t的方程，此时求m、n，使关于t的方程的所有系数（包括常数项）均为0，则（m，n）就是所求点M坐标。

例3：已知椭圆M：+=1（7＞b＞0）的离心率为，点A、B分别为其左、右顶点，点F为其左焦点，以点A位圆心，AF为半径作圆A，以点B为圆心，OB为半径作圆B。

问：是否存在点P，使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为？若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由。

解：由题意得：a=7，e=，c=，

圆A的圆心为A（-7，0），半径为；圆B的圆心为B（7，0），半径为7.

假设存在点P（m，n），使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为。设直线方程为：y-n=k（x-m），即kx-y+n-km=0，

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则圆A到直线的距离为：，

圆B到直线的距离为：.

所以=，即4|-7k+n-km|=3|7k+n-km|，

化简得：（49+m）k=n或（m+1）k=n.

关于k的方程有无数组解，则必有49+m=0n=0，或1+m=0n=0，

解之得m=-49n=0，或m=-1n=0.

所以，存在点P（-49，0）或（-1，0），使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为.

点评：利用过点P的直线被圆A和圆B截得的弦长之比为建立关于m、n、k的等式F（m，n，k）=0，其中（m，n）为点P坐标，k为变参数。对于任意的参数k，等式F（m，n，k）=0恒成立。因此，可以先将F（m，n，k）=0整理为k的方程，此时求m、n，使关于k的方程的所有系数（包括常数项）均为0，则（m，n）就是所求点P坐标。

例4：已知圆O：x+y=1和圆M：（x-4）+（y-2）=9，设P为圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由。

解：假设存在定点R（a，b），使得为定值，且=λ。

设P（x，y），则切线PQ=，又PR=，

所以，即x+y-1=λ（x+y-2ax-2by+a+b）.

点P在圆M上（x-4）+（y-2）=9，

x+y=8x+4y-11，

［8-λ（8-2a）］x+［4-λ（4-2b）］y=12+λ（a+b-11）

关于x、y的方程有无数组解，则必有8-λ（8-2a）=04-λ（4-2b）=012+λ（a+b-11）=0

解之得：a=2b=1λ=，或a=b=λ=，

所以存在定点R（2，1），使得为定值，且=；或存在定点R（，），使得为定值，且=.

点评：利用=λ建立关于a、b、λ、x、y的等式F（a、b、λ、x、y）=0，其中（a，b）为定点R坐标，λ定值，（x，y）动点P坐标。对于任意的变量x、y，等式F（a，b，λ，x，y）=0恒成立。因此，可以先将F（a，b，λ，x，y）=0整理为x、y的方程，此时求a，b，λ，使关于x、y的方程的所有系数（包括常数项）均为0，则（a，b）就是所求定点R坐标，λ就是所求定值。

上述各种类型的解析几何探究性命题经过适当的分析求解最终都可以划归为含变参数的等式，利用方程思想，将等式看作关于变参数的方程，则此方程有无数组解。我们可以利用此方程的所有系数（包括常数项）均为0进行求解。

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