构建轴对称图形的四种方法

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根据已知图形的某些特征并结合轴对称性质,常常能较容易地从图形的各元素的对应关系中发现其内在联系,找到解题的思路.下面举例说明.

一、以角平分线为对称轴来解题

例1 如图1,ABC中,P为∠A外角平分线上一点,求证:PB+PC>AB+AC.

分析:由于角平分线是角的对称轴,作AC关于AP的轴对称图形AD,连接DP.

则DP=CP,BD=AB+AC.这样就把 AB+AC,PB,PC集中到BDP中了,从而有PB+PD>BD,所以PB+PC>AB+AC.

证明:(略).

点评:本解法通过作轴对称图形把条件集中到了同一个三角形中,且能将折线化为直线(如AB+AC化直为BD).

二、以垂线、中垂线或高为对称轴来解题

例2 如图2,在ABC中,∠B=2∠C,ADBC于D,求证:CD=AB+BD.

分析:以AD为对称轴作出ABD的对称AED,则ABD≌AED,所以AE=AB,∠B=∠AED.

证明:以AD为对称轴,作ABD的对称AED,则AB=AE,∠B=∠AEB,DE=BD.∠B=2∠C,而∠AEB=∠C+∠EAC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和),

∠C=∠EAC, AE=CE(等角对等边).

CD=DE+CE, CD=AB+BD.

三、以对折线为对称轴来解题

例3 如图3,把ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCED内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请你试着找一找这个规律,你发现的规律是( ).

A. ∠A=∠1+∠2

B. 2∠A=∠1+∠2

C. 3∠A=∠1+∠2

D. 3∠A=2(∠1+∠2)

解析:设想把ADE沿DE折回到原来的位置(如图4中的A1DE),易知A1DE与ADE关于DE成轴对称,则DA=DA1,EA=EA1.

连接AA1,则由三角形外角定理可得∠1=∠DAA1+∠DA1 A=2∠DAA1.

同理,∠2=2∠EAA1,∠1+∠2=2(∠DAA1+∠EAA1)=2∠DAE.故选B.

四、利用对称解生活中的问题

例4 如图5,已知牧马营地在点M处,每天牧马人要赶着马群到河边饮水.

(1)求到河边饮水的最短路线.

(2)如果饮完水后,需再到草地吃草,然后回到营地,试设计出最短的牧马路线图.

分析:这是一道实际问题,从问题背景中构建数学模型是解题的关键.(1)可转化为点M到直线a的最短距离;(2)可转化得到这样的数学模型:直线a、b间有一点M,试分别在a、b上求出两点,使M点与这两点构成的三角形的周长最短. 要求周长最短,即要求三条线段的和最小,结合题意,可利用轴对称的性质将问题转化为两点之间线段最短的问题.

解:(1)如图6,过点M作MPa于P,MP即为最短路线.

(2)如图7,分别作点M关于a、b的对称点A、B,连接AB分别交a、b于点C、D,则最短的牧马路线为:MCDM.

点评:(1)利用垂线段最短求解;(2)点A、M关于直线a对称,则可得到CA=CM;同理DM=DB,所以MC+CD+DM=AC+CD+DB=AB,这实际上是将MCD的周长,即将三条不在同一直线上的线段和转化成了两点之间的距离问题,由于“两点之间,线段最短”,因此连接AB与直线a、b的交点C、D即为所求的两点.

例5 一面镜子竖直悬挂在墙上,人眼位于点O,如图8,有三个物体A、B、C放在镜子前面,人眼能从镜子里看见哪几个物体?

分析:物体在镜子里所成的像就是物体关于镜面的对称点,人从镜子里所能看见的物体必须在人的视线范围内.

解:分别作A、B、C三点关于直线MN的对称点A′、B′、C′.因为CC′与镜子MN的交点不在∠MON内,故人只能从镜子里看见A、B两物体.

点评:解应用题的关键是理解实际应用问题的理论依据,建立相应的数学模型,再利用数学知识来解决.