对曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程的理解

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摘 要：对曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程进行求解，解释u-曲线和v-曲线的切向量的表示方法，即以在某点张成二维向量切空间Tps的两个切向量和为基底，以在自然基底下的分量（ u， v）为其切向量，并对参数曲线的二等分角 1和 2关系的两种情况 1= 2和 1+ 2= 进行讨论，利用曲面的第一基本形式求解，使得曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程更加易于理解，有助于初学者对微分几何课程更好地学习。

关键词：正则参数曲面 二等分角轨线 第一基本形式

中图分类号：O185.2 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2013）007-100-02

1 预备知识

（1）正则参数曲面：设S是E3的一个子集。如果对于任意一点p∈S，必存在点p在E3中的一个邻域V E3，以及E2中的一个区域U，使得在U和V∩S之间能够建立一一的、双向都是连续的对应，并且该对应（u，v）=（x（u，v），y（u，v），z（u，v）），（u，v）∈U，则称S是E3中的一张正则曲面，简称为曲面。

（2）切向量：设有正则参数曲面s：=（u，v），曲面s在每一点p∈s处的切空间Tps是由切向量（u，v），（u，v）张成的二维向量空间。曲面s在任意一点（u，v）的任意一个切向量是d（u，v）=（u，v）du+（u，v）dv，其中（du，dv）是切向量d（u，v）在自然基底{（u，v），（u，v）}下的分量。

（3）曲面s的第一基本形式：令E（u，v）=（u，v）・（u，v），F（u，v）=（u，v）・（u，v） ，G（u，v）=（u，v）・（u，v） ，称它们为曲面s的第一类基本量，称I=E（du）2+2Fdudv+G（dv）2为曲面S的第一基本形式。

（4）假设在点（u，v）有两个切向量d（u，v）=（u，v）du+（u，v）dv， （u，v）=（u，v） u+（u，v） v，则有：

或 （1）

（5）u-曲线、v-曲线：在曲面s取定一点p0，=（u0，v0），如果让参数u固定，u=u0，而让参数v变化，则动点描出一条落在曲面s上的曲线（u0，v），称为曲面s上过点p0的v-曲线。同理，可以定义过点p0的u-曲线（u，v0）。

2 曲面上参数曲线的二等分角轨线所满足的微分方程

设正则参数曲面s的参数方程是=（u，v），它的第一基本形式为：I=E（du）2+2Fdudv+G（dv2），在基底下{（u，v），（u，v）}，u-曲线的方向向量是（1，0），v-曲线的方向向量是（0，1）。

假定参数曲线的二等分角轨线的方向向量是（du，dv），则根据（1）式，参数曲线的二等分角轨线与u-曲线的夹角余弦是：

（2）

与-曲线的方向向量的夹角余弦是：

（3）

因此参数曲线的二等分角轨线的方向向量（du，dv）应满足下列方程：

由于EG-F2>0，化简之后得到：

综上所述，曲面上参数曲线的二等分角轨线微分方程为：

由此解法可以看出其对u-曲线、v-曲线的方向向量的给出并没有给出详细的解释，这可能会给初学者在求解过程的理解上造成困扰，而且本解法直接给出参数曲线的二等分角轨线的方向向量（du，dv）应满足方程：

并没有对方程中的符号给出明确的解释，此外，方程的化简因为符号的存在而变得繁琐，如果化简过程中没有注意到符号的反复变换就很可能会使最后化简出的方程出现符号上的错误。所以，对于曲面上参数曲线的二等分角轨线微分方程求解的这种解法过于简洁，没能起到简单易懂的效果。

3 对曲面上参数曲线的二等分角轨线微分方程的理解

由部分二可以看出其对曲面上参数曲线的二等分角轨线微分方程的求解较为简洁，对于熟悉微分几何课程的读者而言能够较容易地明白其中的解题思路和各种符号的表述方式以及化简方程的过程，但这对于微分几何课程的初学者可能对参数曲面、参数曲线网和曲面的第一基本量、第一基本形式的理解和运用不甚明了。针对这种情况，以下我们就给出了相对于部分二中的求解更为详细化的求解，即对每一步骤的解法做了详细的说明。

设正则参数曲面s的参数方程是=（u，v），在基底{（u，v），（u，v）}下，设u-曲线为（u，v0），已知曲线（u，v）的切向量是 （u，v）=（u，v） u+（u，v） v，由于u为变量，v=v0等于定值，则 u=1， v=0，其中 u为u对自身求导， v为v0对v求导。所以，u-曲线的方向向量为（ u， v）=（1，0）。同理，当v为变量，u=u0为定值时，v-曲线（u0，v）的方向向量为（ u， v）=（0，1）。

假设参数曲线的二等分角轨线的方向向量是（du，dv），二等分角轨线与u-曲线的夹角为 1，与v-曲线的夹角为 2，将 u=1， v=0代入（1）式，得到二等分角轨线与u-曲线的夹角余弦为：

，即（2）式。

将， u=0， v=1代入（1）式，则二等分角轨线与v-曲线的夹角余弦可表示为：

，即（3）式。

由于 1与 2分别为参数曲线与u-曲线、v-曲线的夹角，由于两条曲线相交会形成两个互补的夹角，所以此处需要同时考虑到以下两种情况：

（1）当 1= 2时，即参数曲面上的二等分角轨线分别与u-曲线和v-曲线的夹角相等时，我们有cos 1=cos 2，则由（2）和（3）式得：

由于，化简之后得到：

将之再化简可得：

。

（2）当 1+ 2= 时，即参数曲面上的二等分角轨线分别与u-曲线和v-曲线的夹角互补时，我们有cos 1=-cos 2，则由（2）和（3）式可得：

由于，化简之后得到：

再化简可得

综上所述，经过对二等分角轨线所满足的微分方程为的分析，使得更好被理解。还有很多书上介绍了这个方程的一个直观的几何解释：u-曲线的单位切向量是，而v-曲线的单位切向量是，所以它们的夹角的平分线的方向向量是，即，所以方程dudv=0成立（这里我们只做说明，不详细证明了）。

这些都促使我们对曲面上参数曲线的二等分角轨线所满足的方程有了更好的理解，并在理解的基础上加深对曲面上u-曲线，v-曲线和第一基本量的应用有进一步的认识。

参考文献：

[1] 陈维桓.微分几何[M].北京：北京大学出版社，2006.

[2] 陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3] 梅向明，黄敬之.微分几何[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4] 孟道骥，梁科.微分几何[M].北京：科学出版社，2004.