对两端受扭矩T作用的矩形截面杆的探讨

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摘要: 对两端受扭矩T作用的矩形截面杆进行了ANSYS有限元分析,对中间截面上的最大剪应力和扭矩之间的关系以及该关系式随高度h的变化规律进行了研究分析,并验证平截面假设在此情形下不成立.

关键词：矩形截面杆;扭转;ANSYS;有限元分析;扭矩;最大剪应力;平截面假设Abstract:The rectangular section bar ends by the torque of T function by ANSYS finite element analysis, the middle section of the maximum shear stress and torque as well as the relationship between the variation with height of H are analyzed, and verified the assumption of plane section in this case is not established.

Keywords:Rectangular section bar; torsion; ANSYS; finite element analysis; torque; the maximum shear stress plane section assumption;

中图分类号：O343.2文献标识码:A

非圆截面杆受扭转时横截面将成为曲面,产生所谓翘曲现象,如图1所示矩形截面杆的扭转.所以对于非圆截面杆,平面假设不再成立,根据平面假设所建立的扭转应力公式显然不再适用.非圆截面杆的扭转问题只能用弹性力学的方法去研究.

图1 矩形截面杆的扭转

为了更好地反映矩形截面杆扭转的规律,本文通过对两端受扭矩T作用,高度为h, 宽度为b,长度为a的矩形截面杆进行ANSYS有限元分析,得出了中间截面上的最大剪应力和扭矩之间的关系以及该关系式随高度h的变化规律,并验证平截面假设在此情形下不成立.

1 弹性力学方法分析

图2 最大剪应力分布

根据弹性力学方法分析的结论, 矩形截面杆在扭矩T的作用下,切应力的方向为:周边处的切应力与周边平行;对称轴处的切应力与对称轴垂直.最大剪应力发生在截面长边的中点处(如图2),其精确计算公式为:

(1)

其中,T为扭矩,h为截面高度,b为截面宽度. 令

(2)

则式（1）可写成

(3)

表1由电算程序计算得到的不同的h/b对应的γ值

因子γ只与比值h/b有关.通过自编的C++电算程序计算,因子γ与h/b的关系如表1.

该表数据与《弹性力学》教材所提供的相关数据符合. 为便于有限元分析建模,这里选用h/b值分别为1.0、1.2、1.4、1.6、2.0、3.0时的模型.

2 有限元分析

2.1 有限元模型

在有限元模型分析中,我们选用了kN—m的单位制.模型长度a为0.5 m,截面宽度b为0.1 m,截面高度h随h/b值的变化分别取为0.1 m,0.12 m,0.14 m,0.16 m,0.2 m,0.3 m.

2.2 网格划分

选用Structural solid 8 nodes 45单元,单元长度取为0.01 m,采用映射式划分,划分后的网格由规则的正方体组成.

2.3 材料属性

选用Q235钢,其弹性模量E为210 GPa,泊松比取为0.3.

2.4 边界条件

在求解这个问题过程中,对矩形截面杆的两端截面中心点处施加了位移=0的约束,使其不发生刚移而绕中轴扭转.一方面,只固定了两个点(理论上该两点位移为零),不影响结果分析.另一方面, 对实心的矩形等截面直杆,约束扭转引起的正应力通常很小,可忽略不计,更何况其约束远未及约束扭转严格.故仍可作为自由扭转问题看待.

2.5 载荷施加

图3 等效扭矩施加

两端的扭矩通过在两端截面边缘添加等效节点力施加.例如,在截面尺寸为0.1 m×0.1 m的情况下,划分网格后每边有11个节点,在每个节点上施加1 kN的节点力,则等效扭矩为2.2 KNm.根据圣维南原理,在离两端截面足够远处的中截面,分析结果将与直接加扭矩的情形相同. 为研究中间截面上的最大剪应力和扭矩之间的关系,以便于通过线性拟合确定两者间关系,等效扭矩取5级,分别为2.2 KNm,3.3 KNm,4.4 KNm,5.5 KNm,6.6 KNm.图3为截面尺寸为0.1 m×0.2 m模型等效扭矩的施加示意图. 2.6 计算结果

图4 横截面长边方向剪应力分布图

图5 弹性力学法得出最大剪应力-扭矩关系曲线图

图6 ANSYS分析得出最大剪应力-扭矩关系曲线图

从ANSYS分析的应力云图来看,最大剪应力确实发生在长边中点处.图4为截面尺寸为0.1 m×0.2 m,扭矩为5.5 KNm时的中截面长边方向的剪应力云图.图5为用弹性力学方法得出的各截面高度下的最大剪应力-扭矩关系曲线图. 图6为经ANSYS分析得出的各截面高度下的最大剪应力-扭矩关系曲线图.二图比较可看出,通过有限元分析所得计算值与弹性理论值基本相同,经过数据计算,最大误差不超过1.6%.由此可见, ANSYS 分析得到的结果可信度还是相当高的.

3 结果分析

3.1中截面最大剪应力值与扭矩之间的关系

利用ANSYS计算得到的中截面最大剪应力值,通过趋势线拟合,可得到中截面最大剪应力值与扭矩之间的关系,如表2所示.

表2各模型的中截面最大剪应力与扭矩之间的关系函数

3.2扭矩及截面宽度一定的情况下,中截面最大剪应力与截面高度的关系

由弹性理论可知,在扭矩及截面宽度一定的情况下,截面最大剪应力与截面高度h的关系为非线性关系,由式（3）可知,两者为近似的乘幂关系,故可用幂函数曲线

＝来拟合两者的关系. 利用ANSYS计算的数据和Excel,得到的结果如表3.图7为扭矩为2.2 KNm时中截面最大剪应力与截面高度的关系曲线图.由表3可知,各级扭矩下的拟合函数幂次a基本相同,为-1.2161, 并且h前面的系数与扭矩T成正比,于是得到最大剪应力与扭矩T之间的关系式随高度h的变化规律(b=0.1 m)为

表3各扭矩作用下的中截面最大剪应力与截面高度之间的关系函数

图7 最大剪应力-截面高度关系曲线图.

容易看出,最大剪应力与成正比.然而从式(3)来看, 最大剪应力应与h成反比,这说明系数γ与h有关.由弹性力学方法得出的结论知,γ与h/b有关,也正好证实了此点.

3.3验证平截面假设

图8 横截面上的轴向位移

图9 横截面周边轴向位移沿高度的分布

图10横截面内部轴向位移沿高度的分布

利用ANSYS分析中截面Z方向(即轴向)上的位移w沿高度h的分布规律(如图8),发现在杆周边上w沿h的分布为曲线分布(如图9),而杆内部虽能呈线性分布,但从其数量级来看,其实位移已基本为零(如图10).这说明杆扭转变形后,横截面已无法保持为平面了, 即产生了所谓的翘曲现象.

由此可见对于受扭的矩形截面杆,平截面假设已不再成立.

3 结论

利用ANSYS有限元分析,得出了最大剪应力与扭矩T之间的正比关系,并发现最大剪应力还与成正比,同时也得出了对于矩形截面杆受扭问题,平截面假设不再成立的结论.

参考文献

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