一类缺系数的导函数
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摘要：本文引进并研究用导函数定义的一类缺系数的解析函数，讨论类中函数的系数估计、偏差性质、凸像半径，得到了一些精确的结果.
关键词：缺系数；导函数；解析函数
1.引言
设Ak表示在单位圆盘D={z:|z|
f(z)=z+∑∞n=k+1anzn,an≥0,k∈N.（1.1）
的全体所成的类.
定义设0≤α≤1,0≤β≤1,0≤γ≤1，若fz∈Ak满足不等式
f′(z)－1αf′(z)+(1－β)
则称f(z)∈KBk(α,β,γ).本文讨论对类KBk(α,β,γ)中函数的系数估计、偏差性质、凸像半径，得到了一些精确的结果.
2.KBk(α,β,γ)的一些结果
定理1函数f(z)∈KBk(α,β,γ)的充分必要条件为
∑∞n=k+1(1－αγ)nan≤(α+1－β)γ(2.1)
这个结果是精确的，当取属于KBk(α,β,γ)的函数
f(z)=z+γ(α+1－β)n(1－αγ)znn=k+1,k+2,…,（2.2）
使得（2.1）式中等式成立.
证明：若f(z)∈KBk(α,β,γ)，则有
f′(z)－1αf′(z)+1－β=∑∞n=k+1nanzn－1(α+1－β)+∑∞n=k+1nαanzn－1
从而
Re∑∞n=k+1nanzn－1(α+1－β)+∑∞n=k+1nanzn－1
注意到z取实值时，f′(z)也为实值及（2.3）式，令zγ1，得到
∑∞n=k+1nan≤γ(α+1－β)+∑∞n=k+1nαγan
由上述不等式可得（2.1），显然（2.2）式所确定的f(z)达到了（2.1）式中的等号.
反之，若（2.1）式成立，则由
∑∞n=2nan=∑∞n=k+1nan≤∑∞n=k+1n(1－αγ)γ(α+1－β)an≤1
知f(z)在D内单叶解析且
|f′(z)－1|－γ|αf′(z)+(1－β)|=|∑∞n=k+1nanzn－1|－γ|(α+1－β)+∑∞n=k+1nanαzn－1|≤0z∈D
再由最大模原理知（1.2）式成立.
推论1若函数f(z)∈KBk(α,β,γ)，则
an≤γ(α+1－β)n(1－αγ),(n=k+1,k+2,…)(2.4)
这个结果是精确的，极值函数由（2.2）式所确定.
定理2若函数f(z)∈KBk(α,β,γ)，则f(z)在圆盘
|z|
内是凸像的.此结果是精确的.极值函数为
f(z)=z+γ(α+1－β)(1－αγ)(n+k)zn+k,n=1,2,…
3.关于KBkα,β,γ类的其它结果
设函数fi(z)=z+∑∞n=k+1anizn,i=1,2;k∈N.在D内解析，f1(z)与f2(z)的Hadamard乘积定义为
f1(z)f2(z)=z+∑∞n=k+1an1an2zn(3.1)
引理设f(z)=z+∑∞n=k+1anzn,f(z)∈KBk(α,β,γ),an≥0；n=k+1,k+2,…,则f(z)满足
Re［f(z)z］>0的充要条件为∑∞n=k+1an≤1
定理4若fz∈KBkα,β,γ，则fg(z)是近于凸函数，其中g(z)=z+∑∞n=k+11－αγγ(α+1－β)zn
证明：由定理1及引理可知
fz∈KBkα,β,γ∑∞n=k+1n(1－αγ)γ(α+1－β)an≤1Ref［zg′(z)］z>0Refg(z)>0
因而f(z)g(z)是近于凸的.（作者单位：河北联合大学轻工学院学院知行书院）
基金项目：Supported by Scientific and Technological Research Project of Institutions of Higher Education in Hebei Province 编号：Z2012054
参考文献
［1］Padmanabhan K S.On;certain;classes of starlike functions in the unit disc.J.Indian Math.Soc,1968,32;89-103
［2］Singh R.On a class of starlike functions.J.Indian Math.Soc,1968,32;207-213
［3］李书海，特殊解析函数内蒙古科学技术出版社，2007年8月.