利用一题多变进行数学中考复习

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[摘要]利用一题多变的方式进行中考数学复习，能够激发学生学习数学的兴趣，锻炼学生的独创性与灵活性，使其真正成为学习的主人。对提高中考成绩也是较大的帮助，教师也能收到事半功倍的效果。

[关键词]一题多变；数学；学生；变式一题多变，可以从不同的解题思路上多变，也可以从题型的角度多变，通过这样的一题多变，可以“以少胜多”，巩固更多的基础知识。另外，利用一题多变，对一道数学题进行联想、或类比、或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更不一般的结论，积极开展变式题的训练，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成。同时，一题多变还能够激发学生学习数学的兴趣，锻炼学生的独创性与灵活性，使其真正成为学习的主人。下面是笔者就初中数学的一题多变问题，略举两例，谈谈自己的拙见。

【例1】已知：如图1，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形。求证：AN=BM

证明：ACM和CBN是等边三角形

MC=AC，CN=CB，∠CAN=∠MCB

ACN≌MCB

AN=BM

【变式1】在例1中，连接DE，求证：（1）DCE是等边三角形；（2）DE∥AB

分析：（1）可证ADC≌MEC，则DC=EC，因为∠DCE=600，所以DCE是等边三角形。

（2）由（1）容易证明∠EDC=∠ACM=600，所以DE∥AB

【变式2】例1中，连接CF，求证：CF平分∠AFB

分析：过C点作CGAN于G，CHBM于H，由ACN≌MCB，可得CG=CH，所以CF平分∠AFB

【变式3】如图2，点C为线段AB上一点，ACM、ACN是等边三角形，P是AN的中点，Q是BM的中点，求证：CPQ是等边三角形。

证明：ACN≌MCB AN=BM，∠ABM=∠ANC

又P、Q分别是AN、BM的中点

BCQ≌NCP CQ=CP，∠BCQ=∠NCP

∠PCQ=∠NCP+∠NCQ=∠BCQ+∠NCQ=∠NCB=600CPQ是等边三角形

【例2】如图3，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短？

分析：设泵站应建在P处，取点B关于L的对称点B、，如图3，PB？=PB，要使PA+PB最小，只要PB？+PA最小，而两点之间距离最短，连接AB？与L的交点P，即是泵站所建的位置。本题特点：一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使动点到定点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。

【变式1】如图4，在ABC中，AC=BC=2，∠ACB=900，D是BC的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是__________。

解析：C、D是两定点，E是在直线AB上移动的一动点，以CA、CB为边作正方形ACBF，则C关于AB的对称点一定是F，连接DF交AB于E，这时EC+ED最小。因为D是BC的中点，在直角三角形FBD中， BC+ED=ED+EF=DF=BD2+BF2=22+22=5

【变式2】如图5，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点。M、N分别是AB、BC边上的中点，则PM+PN的最小值为__________。

分析：M、N是两定点，P是在直线AC上移动的一动点，作N关于AC的对称点G，由于四边形ABCD是菱形，所以G一定在DC上，且为DC的中点，连接MG交AC于P，四边形AMGD为平行四边形，连接PM、PN，则PM+PN最小，有 PM+PN=PM+PG=MG=BC=1

【变式3】如图6，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=600，直线MN为梯形的对称轴，P为MN上的一点，那么PC+PD的最小值为__________。

解析：C、D是两定点，P是直线MN上一动点，因为图形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，所以四边形ABCD为等腰梯形，而直线MN为梯形ABCD的对称轴，则D关于MN的对称点是A点，连接AC交MN于点P，连接PD，则有PA=PD，要使PC+PD的值最小，就要使PA+PC最小，所以PC+PD=PA+PC=AC，因为∠B=600，可证得 为直角三角形，AC=ABtan∠B=1×tan600=3，则PC+PD的最小值为

【变式4】如图7，已知O的半径为r，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为960，弧BD的度数为360，动点P在AB上，则CP+PD的最小值为__________。

解析：如图，设D、是D关于直径AB的对称点，连接CD、交于P，则P点使CP+PD最小。弧CD的度数为1800-960-360=480 ，弧CD、的度数为1200，所以 ∠COD=1200从而容易求得CP+PD=CD'=3r，所以CP+PD的最小值为 3r

教学实践证明，通过对数学问题的一题多变，提供恰当的知识铺垫，向学生展示知识的发生、形成及发展的过程，能让学生体会到知识是如何从已有知识中逐渐演变或发展而来的，从而理解知识的来龙去脉，形成一个知识网络。将这种有层次推进的变化方式用于概念形成、问题解决和构建活动经验系统，可以帮助学生融会贯通，构建起良好的知识结构，培养灵活解决问题的能力，避免反复的机械训练，同时又让学生领略到数学的和谐、奇异与美妙，使他们自发地投入到学习中去，真正成为学习的主人。