由一道卫星变轨运动问题引发的思考

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摘 要： 航天技术是高中物理教育的热点，也是高考的必考点。在卫星变轨问题上学生往往容易出现错误，特别是加速度与向心加速度的关系学生更容易混淆。

关键词： 卫星变轨问题 加速度 向心加速度

例如：探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近进行第一次“刹车制动后被月球捕获，进入椭圆轨道绕月飞行，如图所示。若卫星的质量为m，远月点Q距月球表面的高度为h，运行到Q点时它的角速度为，向心加速度为a，月球的质量为M、半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G。则卫星在远月点时对月球的万有引力大小为（ ）

A. B.ma C. D.m（R+h）ω

好多同学没有选择B，但也有学生选了D。

为了更好地解决这道题目，我们不妨先从卫星绕地球做匀速圆周运动的简单情况入手，再拓展到椭圆轨道运动。设卫星做圆周运动的轨道半径为r，运动周期为T，卫星质量为m，地球质量为M，根据牛顿运动第二定律可知：

==ma

即万有引力作为合外力提供卫星匀速圆周运动所需的向心力。此种情况下因合力始终与运动方向垂直，故有F=F=F。加速度等于向心加速度。学生对这一问题比较容易理解与接受。而当卫星由圆轨道变为轨时，在变轨处速度要变化，加速度、向心加速度是否也发生变化呢？加速度与向心加速度否还相等呢？我就分别从物理学和高等数学两个角度来阐述这个问题。

如图所示，圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ在A点处相切。地球处在圆轨道Ⅰ中心，同时恰好处在椭圆轨道的一个焦点上。设圆轨道Ⅰ的半径为r，椭圆轨道长半轴为a，短半轴为b，A点为近点，B点为远点。椭圆在A点的曲率半径为ρ。卫星由圆轨道Ⅰ变为椭圆轨道Ⅱ，必须在A点加速。若轨道半径在这一瞬间不变，根据=知，在A点当v增大时必有F>F，卫星做离心运动，轨迹可变为椭圆轨道Ⅱ，轨道半径就不可能是原来的r而应增大。设为ρ，则在A点需要的向心力F=，在此点所受合力为F=。两力是否相等呢？因这时的万有引力方向仍与运动方向（即速度方向）垂直，没有切向分力，可见万有引力全部提供所需的向心力，F=F即：

=

综上分析不难得出，在椭圆轨道Ⅱ上的A点处，向心加速度与加速度相等且与在圆轨道Ⅰ上的A点处加速度相等，它们均由万有引力产生。

实际上，由==可以看出，在圆轨道Ⅰ上的A点，当v增加为v时，轨道半径同时增加为ρ，致使向心加速度保持不变。

下面不妨从数学的角度分析在椭圆轨道Ⅱ上的A点，加速度等于向心加速度，由万有引力产生。不过必须先利用物理学相关知识求出在椭圆轨道的近点A或远点B处的速度。

因卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动时只受到地球引力的作用，卫星的机械能守恒。

由机械能守恒定律得：

mv-G=mv-G（1）

根据开普勒第二定律有：

vr=vr，

即v（a-c）=v（a+c）。（2）

（2）式中c=（C称为椭圆的半焦距）

由（1）（2）两式解得：

v=，

v=。

上面已经求出卫星在椭圆轨道近点A和远点B的速度，下面我们不妨利用数学知识求出椭圆在A点的曲率半径ρ，然后验证向心力等于万有引力。

如图建立坐标系，则椭圆标准方程为：

+=1 （χ＞γ＞0）。

变形可得：γ=。

γ对χ的一次导数γ′=，

γ对χ的二次导数γ″=。

于是椭圆上任意点处的曲率半径ρ=，将γ′、γ″代入得：

ρ=。

对A、B两点，χ=±a，代入上式得：

ρ=ρ=。

于是在A点处卫星需要的向心力：

F=。

将v、ρ代入可得：

F=，而a-c=r，

故F==F。

综上所述，卫星做椭圆运动时，在四个顶点处均有F=F。

有了上述讨论和得到的结论不难解决开篇那道题了。由于探月卫星在远点Q处运动的轨道半径不是（R+h），因而D选项错误。正确答案是BC。

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