巧解填空题 妙拿高考分
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纵观近几年高考试题，填空题的题型在原来的基础上有了一些新的变化与发展． 如何才能正确、合理、迅速地完成一道填空题，从而在高考中取胜呢？笔者现谈几招常用“招数”，以助同学们从容应付.
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所谓直接法，就是从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算得到答案的方法.
■ 若函数y=■sin2x+acos2x的图象关于直线x=■对称，则实数a=_______.
解析 函数图象关于直线x=■对称，等价于f■－x=f■+x恒成立． 若将此式直接展开运算，这样就加大了难度，不仅耗时而且容易出错. 一般地，在运用充要条件求解时，我们可以先运用必要性求出解，然后检验解是否正确. 由于此题是一个填空题，不需要解答过程并且解只有一个，因此我们还可以跳过检验解是否正确的过程. 故本题可以这样考虑：令x=■，则f■=f（0），从而a=■.
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特例法就是选取符合条件的特殊情形来处理问题的方法，主要包括特殊值法、特殊函数法、特殊位置法等.当题目提供的信息暗示答案唯一或其为定值时，我们可以把题中变化的量用特殊值来代替，从而避免推理论证的过程.
■ 如图1，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q，其满足A1P=BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则从上到下的两部分体积之比为______.
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图1
解析 尽管P，Q分别在侧棱A1A和B1B上运动，但是从上到下两部分的体积之比为定值，所以我们可以选取P，Q两点的特殊位置来考虑. 让P点无限接近A1，Q点无限接近B，从而使得P点与A1点重合，Q点与B点重合. 此时，设三棱柱的体积为V，则下部分三棱锥体积为■，上部分体积为■. 所以上下两部分的体积之比为2∶1.
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对于一些含有几何背景的填空题，我们可以根据题设条件的几何意义，画出相应的辅助图形，然后借助图形的直观性，快速、准确地得出答案.
■ 若关于x的方程kx－lnx=0有实数解，则实数k的取值范围是___.
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图2
解析 由于方程、不等式、函数三者之间存在着内在联系，因此，对于方程问题和不等式问题，我们均可以借助函数的图象来解题． 在此题中，关于x的方程kx－lnx=0有实数解，也就是说，函数y=kx的图象和y=lnx的图象有公共点. 如图２所示，由题意，我们只需求出函数y=lnx的图象过原点的切线l的斜率． 设切点的坐标为（x0，lnx0），由于（lnx）′=■，故kl=■，从而■=■，解得x0=e，所以kl=■． 故实数k的取值范围是－∞，■.
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所谓归纳法，就是先“走几步”（写出前几项），再“瞧一瞧”（进行规律归纳），凭直觉对问题的结论作出猜测，从而获取答案的方法. 归纳法多用于探索规律的一类题.
■ 图3是一个算法的程序框图，当输入f0（x）=cosx时，其输出的结果是_________.
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图3
解析 由程序框图可知，此算法的功能是“计算递推数列｛fn（x）｝： f0（x）=cosx， fn（x）=f ′n－1（x）（n∈N?鄢）中的f2008（x）”.显然，若先求出通项公式，再求f2008（x）比较烦琐，因此我们可以先“走几步”，再找规律猜答案. f1（x）=－sinx， f■（x）= －cosx， f3（x）=sinx， f4（x）=cosx， f5（x）= －sinx，…我们发现递推数列｛fn（x）｝具有周期性，并且其最小正周期为4. 故可以猜测f2008（x）=cosx，即输出的结果为cosx.
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两个（或两类）对象在某些属性上相同或相似，而且其中的一个（或一类）对象还具有其他特定属性，从而推出另一个（或另一类）对象也具有该特定属性的方法称之为类比法. “类比”的载体可以是平面到空间的升维，也可以是方法的迁移、策略上的推广等.
■ 如图4，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）是线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数.设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为■－■x+■－■y=0，则直线OF的方程为_______x+■－■y=0.
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图4
解析 本题的常规解法是先求出直线CF和AB的方程，从而求得两直线的交点F的坐标，然后再写出直线OF的方程，但过程较为烦冗，容易出错. 不难发现，直线OE是由直线BP与AC的交点E和原点O确定的，直线OF是由直线CP与AB的交点F和原点O确定的，也就是说，直线OE和直线OF的形成过程类似，二者不同之处在于点B和点C所处位置不同，因此我们可以考虑运用类比法求解. 把直线OE的方程■－■x+■－■y=0中涉及点C的横坐标c和点B的横坐标b相互交换，我们便可得到直线OF的方程中x的系数，即为■－■.
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结论法就是直接运用从课本或习题中总结出来的规律性结论或变形公式来解决问题的方法. 利用它们解答填空题，具有起点高、速度快、准确性强等优点.
■ 等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若■=a5■+a2007■，且A，B，C三点共线（该直线不过原点），则S2011=___________.
解析 根据“A，B，C三点共线”，我们可联想到平面向量中的一个重要结论“若■=λ■+μ■（λ，μ∈R），且A，B，C三点共线，则λ+μ=1”，再结合等差数列的通项性质“若m+n=p+q（m，n，p，q∈N?鄢），则am+an=ap+aq”，因此本题我们可以如下解决.
由题意可得a5+a2007=1. 又因为｛an｝是等差数列，所以a1+a2011=a5+a2007=1. 所以S2011=■=1005.5.
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对等法就是根据题设条件和结论中变量含有“对等地位”的特征，从而将问题简化，最终解决问题的方法. 值得注意的是，使用对等法的前提是题设条件和结论中变量都含有“对等地位”的特征，否则会运用错误.
■ 设a，b，c为正实数，且满足abc=1，则■+■+■的最小值是_______.
解析 本题的常规解法是构造条件，运用基本不等式求解，但是这种方法非常麻烦. 不难发现，变量a，b，c在所给题设条件中地位都对等，因此，当a，b，c相等时，■+■+■应该取得最值. 把a=b=c代入abc=1中，解得a=b=c=1，此时■+■+■=■，故可以大胆猜测结果为■. ■