例说排列组合问题的解题思路

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排列组合是中学数学学习中的难点，其解决问题的方式方法灵活多变，学生往往旁观者清当局者迷——“听”易“做”难.笔者认为，合理运用一些思想方法是求解排列组合问题的关键.本文拟例说之.

1 数形结合的思想

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在教学过程中引导学生充分利用数形结合的方法，仔细观察，合理联想由形及数，由数构形，发现本质的形数特征，使问题简化.

例1 有7位朋友见面，任何两人都互相握手，且不重复，问共需要握手多少次？

C =2 1次.

2 特殊化归纳的思想

当碰到新问题或数字较大，直接求解较复杂时，这时不妨先研究简单的特殊情况，从中找到解决问题的方法，再来研究复杂的问题，往往能化繁为简，收到事半功倍的效果.

例2 连结凸边形三个顶点的线段构成的三角形中，与原边形没有公共边的三角形有多少个？

−− =−−个.

3分类讨论的思想

分类讨论是一种基本的思想，当问题比较复杂时，不能用同一概念、法则、公式或方法求解时，就应按照情况进行分类讨论.分类过程中要注意分类标准明确，层次分明，不重不漏.

例3 有1 0级的阶梯，可以一次走一级或二级（不可逆行），问共有多少种不同的走法？

分析 可按走二级的步数进行分类，走二级的步数为0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；相应的总步数为1 0 ，9 ，8 ，7 ，6 ，5 .第一类走1 0步每一步都走一级方法数为1种；第二类从走9步选其中1步走两级方法数为

种；第三类从走8步选其中2步走两级方法数为种；第四类从走7步选其中3步走两级方

在问题的众多对象中，确定某一类对象为元素，另一类对象为位置，既可以从元素的角度考虑也可以从位置的角度考虑分步和分类，培养学生选择从不同角度切入，一题多解的能力.

例5 将五名实习生分到三个部门去工作（每人只可在一个部门），有几种不同的方案？

分析一 从部门接受实习生的角度考虑：

（1 ）一个部门接受全部，有三种可能性；

（2 ）二个部门接受全部，接受人数有1 ，4或2 ，3两种情况，属于非均匀分组构成的复合分组，共有

故分配总的方案为3 +9 0 +1 5 0 =2 4 3种.

分析二 从实习生将去何部门来考虑分步，第一名实习生可分到三个部门中的一个，有3种可能性.类似的第二、三、四、五个实习生也分别有3种不同的可能性，所以五位实习生全部分配好就有种. 3× 3 × 3 × 3 × 3 = 3 = 2 4 3

两相对照，分析二更加简捷，选择元素还是位置为切入口，往往成为解决问题难易的分水岭.

还可以举出集合的思想、类比的思想、正难则反的思想、递推的思想方法等运用到排列组合中.如能在学习中适当合理结合上述的思想方法，则必能轻松地掌握排列组合问题的求解规律.