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一、分类讨论思想
例1 已知直角三角形的两边的边长分别为3和5,求该三角形的第三边的边长。
分析 已知直角三角形的两边,未指明是直角边还是斜边,因此边5可能是直角边,也有可能是斜边,所以要进行分类讨论求解。
解 根据三角形的边角大小关系可知,3一定是直角边,而5可能是直角边,也可能是斜边,故可分类求解。
(1)当边5为直角边时,三角形的第三边为斜边,长度为==。
(2)当边5为斜边时,三角形的第三边为直角边,长度为===4。
所以这个三角形的第三边的边长为或4。
点评 直角三角形的第三边分为两类:直角边和斜边。当已知两边求第三边时,要分析其边是直角边还是斜边,若题目未指明,则要进行分类讨论求解。
二、方程思想
例2 如图1所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EF的长。
分析 折叠就是轴对称,因为ADE与AFE关于AE对称,知AD=AF=10 cm,DE=EF。在RtABF中,根据勾股定理得BF=6 cm,所求EF在
RtECF和在RtAEF中,但都只知道一边,不能求解。而在RtECF中,FC=4 cm,EF+EC=8 cm,利用勾股定理建立方程即可求得EF。
解 因为ADE与AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,在RtABF中, AF=AD=BC=10 cm,AB=8 cm,
所以BF===6 cm。
所以FC=BC-BF=10-6=4 cm。
设EC=x cm,则EF=DE=(8-x)cm。
在RtECF中,EC 2+FC 2=EF 2,即x2+42=(8-x)2,解得x=3。
则EF的长为5 cm。
点评 勾股定理只能用于已知直角三角形的两边求第三边。当在直角三角形中,只知一边,又知另两边的相应关系时,可用勾股定理建立方程(组),通过解方程(组),即可求得该三角形的边长。
三、化归思想
例3 如图2,已知:在ABC中,∠B=60°,AC=70,AB=30。求BC的长。
分析 题中的三角形未确定是直角三角形,不能用勾股定理,由条件∠B=60°,想到构造含30°角的直角三角形,为此作ADBC于D(如图3所示),则有∠BAD=30°,BD=AB=15,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长。
解 作ADBC于D,因为∠B=60°,所以∠BAD=90°-60°=30°,所以BD=AB=15。
根据勾股定理,在RtABD中,AD===15。
根据勾股定理,在RtACD中,CD===65。
所以BC=BD+DC=65+15=80。
点评 利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用。当题目中没有垂直条件时,经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理。
四、转化思想
例4 如图4所示,ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DEDF,若BE=12,CF=5。求线段EF的长。
分析 已知BE、CF,要求EF,但这3条线段不在同一三角形中,所以关键是转化,根据直角三角形的特征以及三角形中线的特殊性质,不妨先连接AD。
解 连接AD。
因为∠BAC=90°,AB=AC。又因为AD为ABC的中线,
所以AD=DC=DB,ADBC,且∠BAD=∠C=45°。
因为∠EDA+∠ADF=90°。又因为∠CDF+∠ADF=90°。
所以∠EDA=∠CDF。所以AED≌CFD(ASA)。
所以AE=FC=5。同理,AF=BE=12。
在RtAEF中,根据勾股定理得,
EF2=AE2+AF 2=52+122=132,所以EF=13。
点评 此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过对本题的解答,我们可以知道:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。