基于连续性的换热网络整型变量优化策略
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摘要： 换热网络优化是典型的混合整数非线性问题，其整型变量（换热网络的结构）的组合情况对于其优化的走向以及局部最优解的质量具有至关重要的作用.分析了换热网络结构与性能之间的连续性特征；利用最速下降法对换热网络整形变量进行初步优化以确定合适的换热器数目，生成一系列连续变化的换热网络结构；以结构序列作为优化变量，借助换热网络性能连续性原理，将多维整型变量转换为一维连续变量，对整型变量进行启发式的连续性搜索.通过具体算例求解，该方法帮助优化过程跳出了局部最优的陷阱，并得到了较好的优化结果.
关键词： 换热网络； 整型变量； 最速下降法； 连续性
中图分类号： TK 124文献标志码： A
The strategy of integer variable optimization based on the
continuity in heat exchanger network
ZHANG Jiaren， CUI Guomin， PENG Fuyu
（Institute of New Energy Science and Technology，University of Shanghai for Science
and Technology，Shanghai 200093，China）
Abstract： The heat exchanger network optimization is a typical mixedinteger nonlinear problem. The integer variable combination plays a crucial role for the path of optimization and the quality of the local optimal solution in the heat exchanger network. In this paper， the steepest descent method was applied to the optimization of integer variables in the heat exchanger network. Based on the continuity between structure and performance， and taking the structure sequence as the optimization variable， the multidimensional integer variable was converted to onedimensional continuous variable and the integer variable was searched continuously for the further optimization in the heat exchanger network. By solving actual cases， the method proposed in this work helped to jump out of the trap of local optimum and get better results in the optimization process.
Key words： heat exchanger network； integer variable； steepest descent method； continuity
能源短缺、不合理能源结构、能源消费对环境的影响以及能源利用效率是我国能源领域面临的问题[1].换热网络作为过程系统的一个子系统，是余热回收和实现能量综合利用的关键环节，其性能的提高对节能降耗具有重要意义，因此换热网络的优化技术成为相关领域的研究重点.综合国内外研究，换热网络优化的研究经历了经验法[2]、窄点技术法[3-4]、数学规划法[5-6]以及基于随机技术的启发式方法[7-8]的历程.热网络优化本质上是混合整数非线性（MINLP）规划问题[9].在处理这类问题的现有技术中，最具代表性的是分支界定法[10]和割平面法[11].但是这些方法在优化换热网络问题时，仍然会陷入局部最小解，甚至可能会得到一个不可行解.其原因是：一方面换热网络内部传热机理决定了问题的非线性；另一方面，冷热物流间不同的匹配关系及换热器布置个数、位置的不同，导致换热网络优化中产生大量的结构性的整型变量，两者相互影响和耦合，使得复杂换热网络优化中局部最优解星罗棋布.此外，换热网络结构也直接决定了换热网络热回收的能力[12]，又由于复杂换热网络所需的换热器数目众多，整型变量的多维性也使得优化的走向错综复杂，极大地限制了传统方法的优化质量[13].所以在换热网络优化技术的研究中，如何优化整型变量是一个不容忽视的问题.
本文在整型变量的优化过程中，首先结合最速下降法，以综合费用下降的程度作为整型变量优化方向的判断依据，逐步缩小整型变量的求解域并找到适合的的换热器数目.然后，在发现换热网络的结构与性能具有连续性的基础上，预先生成一系列连续变化的换热网络结构.最后以结构的序号作为优化变量，综合费用下降的方向作为整型变量的搜索方向，对换热网络的整型变量进行多起点的启发式连续性搜索.该方法将多维整数变量的优化问题转变为一维连续变量的优化问题，从而很大程度上简化了整型变量优化过程的复杂性.不但提高了传统启发式方法的可靠性和搜索效率，而且有效地使优化过程跳出局部最优陷阱，实现换热网络整型变量的全局优化.
能源研究与信息2013年第29卷
第3期张佳仁，等：基于连续性的换热网络整型变量优化策略
1换热网络整形变量优化的难点
1.1整型变量引起的问题非线性问题
随着换热网络规模的增大，其所需换热器的数目也将大幅增加.这不仅导致整型变量的维数异常庞大，而且冷热流体之间的匹配情况也十分复杂.因此，在大规模换热网络中难以建立合适的混合整数非线性数学模型，整形变量的解无法准确地确定，基于梯度的传统优化算法也很难适用.此外，整型变量的任意一组解都将对应一种确定的网络结构，而每一种网络结构又必然存在严重的非线性特征[14]，对于大规模的复杂换热网络，整型变量的多维性将使换热网络优化问题的总体非线性程度呈指数型增加.因此，整型变量的加入会极大地加剧优化问题的非线性，使优化过程变得异常复杂.
1.2整形变量的一般消去原则
数学规划法对整形变量进行处理时，以换热网络超结构模型作为初始的换热网络结构，以各换热器的面积作为优化变量，利用传统的优化算法对其进行最优搜索.在优化过程中，如果某些换热器的面积非常小甚至趋近于零，则认为这些换热器对系统回收能量的贡献不大，消去这些换热器，由此决定整型变量的解的走向.但换热网络优化问题本身具有的非线性、多维性及多极值的特点，整型变量的优化走向错综复杂，可能导致必要的换热器被强行消去，使整型变量的优化过程偏离正确方向.
2换热网络性能连续性原理
连续性原理是德国自然科学家莱布尼兹（G.W.Leibniz）在继承亚里斯多德思想的基础上提出的.该原理指出 “自然界中的一切事物都是按阶段发展的，没有任何跳跃”.该原理在众多科学领域得到了广泛应用，在多股流换热器和换热网络的研究领域中也有相关的研究结果[15-16]，所以在换热网络的优化问题中，也应该存在类似的连续性原理.可以认为：任意对换相邻两个换热器的位置，其结构的变化是微小的.对于某个初始结构，通过排列组合的方式不断地对换相邻换热器的位置，直至完成换热网络结构的全排列，得到的一系列结构是具有连续性的.本文采用实际算例检验这些结构所对应的换热网络的性能（综合费用）是否依然具有连续性.为了避免计算量过大，本文以文献[17]中的较小规模的换热网络作为试验算例，冷、热流体参数见表1.
该换热网络由3股热流体及3股冷流体组成.换热器费用为171.4S美元（S为换热器面积），热公用工程的热量费用为80 美元・kW-1・a-1，冷公用工程的热量费用为20 美元・kW-1・a-1.为了单独讨论换热网络结构与性能之间的关系，以控制变量法固定所有换热器的面积，以1级的超结构模型作为初始结构，生成一系列连续变化的结构，计算对应的综合费用，结果如图1所示.
表13×3换热网络流体参数
Tab.1Data for the fluid properties in 3×3 HENs
流股号热容流率
/（kW・℃-1）进口
温度
/℃目标
温度
/℃换热系数/
（kW・℃-1・m-2）热流体1（H1） 10227771.6热流体2 （H2）12177771.6热流体3 （H3）8127471.6冷流体1（C1）9272071.6冷流体2（C2）10671471.6冷流体3（C3）8671271.6蒸汽（HU）2682681.6冷却水 （CU）27471.6
图1换热网络综合费用与结构的曲线
Fig.1Annual cost versus structure of
heat exchanger network
图1表明，在换热网络中，当结构发生一系列微小变化时，其性能的变化也是微小的、连续的.
换热网络性能连续性原理可以很好地指导换热网络整型变量的最优搜索过程.基于这一原理的特性，选取一个较大规模的换热网络实例进行优化，可以尝试为换热网络优化领域提供一种新的处理整型变量的优化思路.
3整型变量的优化策略
本文对整型变量的优化策略分为两个阶段.第一阶段，结合最速下降法，以综合费用下降的程度作为整型变量优化方向的判断依据，逐步缩小整型变量求解域并找到适合的的换热器数目；第二阶段，在固定换热器数目的前提下，利用换热网络性能连续性原理，生成一系列连续变化的换热网络结构，以结构的序号作为优化变量，综合费用下降的方向作为整型变量的搜索方向，进行换热网络结构的连续性搜索.
3.1整形变量的最速下降搜索
最速下降法是基于梯度的传统优化算法，通常将目标函数的负梯度方向作为优化变量的搜索方向.而在换热网络整型变量的优化过程中，任意消去一个换热器，其结构对应的综合费用必然会有一定程度的变化.本文结合最速下降法，以综合费用下降最大的方向作为整型变量的优化路径，其数学描述为
ΔF（i）=F（A0）-F（Ai），
{A=[a1，a2，ai，…，an]}（1）
式中，F为换热网络的综合费用；ai为第i个换热器的面积；A为各换热器面积的集合；A0为初始结构下各换热器面积的集合；Ai为第i个换热器的面积为零时各换热器面积的集合；n为初始结构下换热器的数目.
在初始结构下，对于第i个换热器，若能满足max{ΔF（i）}，则使该换热器的面积为零，即消去该换热器，并将对应的结构作为下一个初始结构.本文对文献[18]中的算例进行整型变量的最速下降搜索，冷、热流体参数见表2.
表24×5换热网络流体参数
Tab.2Data for the fluid properties in 4×5 HENs
流股号热容流率
/（kW・℃-1）进口
温度
/℃目标
温度
/℃换热系数/
（kW・℃-1・m-2）热流体1（H1）327401000.50热流体2（H2）2201601600.40热流体3（H3）22060600.14热流体4（H4）160454000.30冷流体1（C1）1003001000.35冷流体2（C2）35164700.70冷流体3（C3）851383500.50冷流体4（C4）60170600.14冷流体5（C5）1403002000.60蒸汽（HU）3302500.50冷却水（CU）15300.50
该换热网络由4股热流体和5股冷流体组成.换热器费用为70S美元，换热器的单台投资为2 000 美元，热公用工程的热量费用为60 美元・kW-1・a-1，冷公用工程的热量费用为6 美元・kW-1・a-1.初始结构采用1级的超结构模型.图2为整形变量最速下降搜索过程中，综合费用的变化趋势，纵坐标表示换热网络结构的综合费用，横坐标表示利用最速下降法优化整形变量的步数，即消去换热器的个数.
图2最速下降优化整型变量过程曲线
Fig.2The curve of the optimization process for integer
variables base on steepest descent algorithm
利用最速下降搜索策略优化换热网络的整型变量，不仅在整体上明确了优化的路径，而且在优化过程的前期得到了比较明显的效果.但在优化过程的后期，由于换热器数目较少，使得换热网络本身的优化空间不足.从第11步，即剩余9个换热器时，换热网络的综合费用趋于平稳，没有明显的进一步下降.
3.2整形变量的连续性搜索
虽然在最速下降搜索过程的后期，整型变量的优化效果不再明显，但该过程缩小了整型变量的求解域并找到适合的换热器数目，即换热器的数目大致为9个，并且在换热器数目一定的情况下，仍然存在大量的潜在结构，能使换热网络的综合费用有明显的进一步下降.
本文基于换热网络性能连续性原理，在换热器数目固定为9个的情况下，用全排列的方式，预先生成一系列连续变化的结构.这些结构对应的综合费用也必然是连续的，两者就形成一条换热网络综合费用与结构的一维曲线，将多维的整形变量优化问题转化为一维的连续变量优化问题.整型变量连续性搜索的优化过程是：以这些连续性结构的序号作为优化变量，随机启发多个初始点，对于每一个初始点，以综合费用下降的方向作为整型变量的搜索方向，利用探步法逐个试探相邻的结构，进行换热网络整型变量的连续性最优搜索，完成对已有结果的优化改进，最终找到某个较好的局部最优点.
图3为基于整型变量连续性搜索的优化过程的曲线.该曲线具有多极值的特点，并且具有一定的连续性.这两个特点使得：对于某一个随机启发的初始点，通过基于连续性的整型变量最优搜索，必然能找到附近的一个局部最优值，提高了启发式方法在搜索过程中的可靠性.对于多个随机启发的初始点，这些点极有可能分别落在不同的局部最优值附近.这使得优化过程能在较大的范围内得到多个局部最优解，不仅能保证启发式方法在搜索过程中高效性，还能使优化过程跳出局部最优解的陷阱，实现换热网络的全局优化.
图3基于整型变量连续性搜索的优化过程曲线
Fig.3The curve of the optimization process for
integer variables based on the continuity
本文以随机性方法启发出10个初始结构，利用连续性搜索分别对这些初始结构进行连续性的最优搜索.最终优化结构如图4所示，图中的数字均表示换热器两侧冷热流体的进/出口温度（℃）.最终结构的综合费用为2 966 904 美元・a-1，比文献[18]的综合费用少13 096 美元・a-1.
4结论
多维整型变量的加入不仅极大地加剧了换热网络优化问题的非线性，而且使整型变量的优化路径变得极为复杂.本文利用最速下降搜索和连续性搜索处理整型变量的优化问题，得到以下结论：
图4本文最终的优化结构
Fig.4The final optimized structure in the work
（1） 最速下降搜索在整体上明确了整型变量的优化路径，缩小了整型变量求解域并找到了适合的的换热器数目，并且在优化过程的前期得到了比较明显的效果，但在优化过程的后期，由于换热器数目较少，使得换热网络本身的优化空间不足，换热网络的综合费用没有明显的进一步下降.
（2） 在换热网络中，当结构发生一系列微小变化时，其性能的变化也是微小的、连续的，为整型变量的连续性搜索提供了一定的理论基础.
（3） 在换热器数目固定的情况下，整数变量的连续性搜索能将多维整数变量的优化问题转变为一维连续变量的优化问题.该优化策略一定程度上简化了整型变量优化过程，而且在保证启发式搜索过程具有可靠性和高效性的基础上，使优化过程有效地跳出了局部最优陷阱，最终得到了较好的优化结果.
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