一条线段定乾坤

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“一花一世界，一树一菩提，一沙一天堂”，小小的一条线段，看似很不起眼，但从数学的角度看，却有着丰富的内涵，几乎涵盖了所有的数学知识，它可以称为数学学习的窗口！

九年级的数学复习课如何避免就题论题？如何避免题海训练的低效教学？如何巧妙地贯彻新课程的课堂教学理念？除了上课前精选例题外，上课时应变式训练，让学生能从一道题的解决中掌握一类题的解答方法，从而达到举一反三、触类旁通的效果，最终实现数学能力和创新能力的提高。

笔者从一个简单的、常见的图形入手，对典型问题（函数中的直线）进行拓广探索、变式引申。相信这对提高九年级数学教学效果行之有效，也有利于营造一种宽松、互动的教学氛围，更能激活学生的创造性思维，提升学生对数学学习的积极性。

原创题：

如图1，已知线段AB，A（－1，2），B（3，6），M是AB的中点，E、F在AB上，且AE＝EF＝FB.

根据这一已知条件连续展开21问，用“问题串”的方式，由浅入深、层层深入，使不同层次的学生都能参与到教学活动中，把中考数学综合题贯穿始终。当然，此设计包含课前、课中和课后，通过这样的问题形式，能使九年级学生对所学的知识融会贯通，活学活用，从而大大提高了教学效率。

具体操作：提前一天布置家庭作业，要求学生自己限定好时间（1小时），将此题先研究一下，能完成的先完成；有疑问的标注下；想不出方法的打上“？”，以便在第二天的课堂上能有的放矢地提出。

以下主要展示课堂操作：此题是在中考复习第二轮后提出的，学生虽然对综合题已有些了解，但存在着一定的恐惧心理。因此，教师要利用并调节好。

因课堂时间有限，此节课和原来的新课模式完全不同，上课后直接由学生上前演示：板书只有一张图，暂不用多媒体，学生能自己完成的题主要为第一部分。

下面是笔者设计的问题。

一、函数问题的设计

由于这部分题目比较简单，学生在家里都能完成，不必作过多地讲解，只对重点知识略作提示，写出参考答案即可。

1.求直线AB的解析式。根据两点式来求y＝x＋3.

方法还有很多，比如开始学生用的方法是：设P（x，0）是AB的垂直平分线与x轴的交点，则PA＝PB,然后用两点式求出P（5，0），再根据中点M（1，4），可以求出y＝－x＋5.

还可以利用相似，等等。

7.在x轴上求点P，使PAB是等腰三角形。

9.在x轴上求点P，使∠ABP＝45°.

经过积极思考，学生可以发现直线AB与x轴的夹角是45°,所以ABP是直角三角形，所以P（3，0）.

10.在x轴上求点P，使PAPB.

根据相似可以很快地求出来，图形与上面一题相似：只是对应的边不同而已，但由于方程x－2x＋9无解，所以没有答案。但如果把点换到其他位置仍然可以求出来。

11.在x轴上是否存在点P，使以AB为直径的圆切于P点。

数形结合，利用直径所对的圆周角是90°,再次转化成上面一问题。

三、最值问题的设计

13.在x轴上求点P，使PA＋PB最小。

作x轴的对称点：得PA＋PB最大，答案P 为（0，0）.

14.在x轴上求点P，使PA－PB 最大。

由于三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。在笔者的提示下，利用数形结合思想学生们发现，任意作点P， PA－PB 总小于AB，继续作图可以发现点P在AB的延长线上时，PA－PB 有最大值AB，此时P（3，0），即是直线AB与x轴的交点坐标。

15.在x轴上求点P，使PA2＋PB2最小。

用两点式得到PA2＝（x＋1）2＋（0－2）2，PB2＝（x－3）2＋（0－6）2得到二次三项式为2x2－4x＋50，当x＝1时，PA2＋PB2最大，为4.

当然还有许多求最值的题没有给出，比如求三角形面积的最值。不过只要学生掌握了把几何图形转化为代数来求，即列出代数式，再利用配方就可以求出最值，这不失为一种好的解题思路。

四、动态几何图形问题的设计

16.把线段AB绕原点O按顺时针旋转90°得线段A′B′ .

（1）求直线A′B′ 的解析式；

（2）求过点A′，B′ ，原点O的抛物线的表达式；

（3）求线段AB旋转到A′B′所扫过部分的面积。

此题只是把原来的AB转化成A′B′，但求解的方法不变。问题(2)是求抛物线的解析式，其内容比较重要：在一般式、交点式、顶点式中选择求解．

问题（3）是求圆中的扇形的面积，学生只要利用弧长公式、扇形面积公式即可求解，答案为10π .

17.求原点O关于直线AB对称点E的坐标。

方法1：由图3中OEF为等腰直角三角形，得出E（－3，3）.

方法2：设E（a，b），用AE＝OE来列式。

还有其他方法，比如相似。

18.直线y＝kx把四边形OABC的面积分成1∶2两部分，C（4，0）. 求k的值。

如图4，可以分两种情况讨论。当直线与BC相交时，可知SDOC∶SABDO＝1∶2.当直线与AB相交时，可知SAEO∶SEBCO＝1∶2.

19.动点P从C（4，0）出发，沿x轴向左运动，速度是每秒1个单位，动点Q从A出发，沿AB运动，速度是每秒1个单位，P、Q同时出发,

求（1）PQ的最小值； （2）PQ中点的轨迹方程。

第1问求出P、Q的坐标之后，用两点式把PQ的长度表示出来，再利用配方求出最值。第2问中求中点的轨迹方程。比较理想的方法是：设P（x，y），利用上述中点公式找到x、y的关系式，从而得出轨迹方程。

（1）如果AE＋BF最小，求E的坐标；

（2）求AE2＋BF2的最小值。

此时中考压轴题变得如此简单：

设E（t，0），F（t＋3，0）两题都可以解出。