运用基本不等式求最值的对策

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利用基本不等式求最值是高中数学中常用方法之一，是高考的一个常考点。在使用时应注意基本不等式求最值的三大原则“一正、二定、三相等”。在解题的过程中，往往不能直接套用公式，即出现“变量是负数”、“等号取不到”、“和（或积）不是定值”的情形。这时，该怎么办？下面针对这些情况提出相应的对策。

一、变量是负数

对策：在求最值中，当变量是负数时，先利用相反数将其转化为正数，再利用基本不等式及不等式的性质来解决。

例1、已知 ，求 的最大值。

解： ， ，

当且仅当 ，即 时，等号成立，即 。

二、取不到等号（均值不等式失效情形的处理）

对策：在求解的过程中，有时会出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的现象，建议用：实施均拆、待定系数法及非基本不等式法（如单调性法、配方法等）。

例2、求函数 的最小值。

解：由 ，

令 ，则易证 为增函数。 。所以当 ，即 时， 。

三、和（或积）不是定值

对策：变量为正数时“若和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值”。当和（或积）不是常数时，可以用凑项法、配系数法、拆项法、平方法、纳入根号内法等。

对策一、添、凑项

在凑“和”或“积”为定值时，还要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项，常见的凑项方法有：

（1）系数变形

在利用均值不等式时，有时系数并不满足均值不等式的要求，需要对系数加以变形处理，使之满足要求，利用均值不等式求解。

例3、已知 ， ，且 ，求 的最大值。

解析：

，

当且仅当 时，即 ， 时等号成立，

所以当 ， 时， 的最大值为 。

（2）项数变形

在利用均值不等式时，有时往往需要对项数加以变形处理，使之满足均值不等式的要求，为利用均值不等式求解创造条件。

例4、求函数 的最小值。

解析：

所以当

对策二、分子常数化

例5、设 ，求函数 的最小值。

解析：

所以仅当 。

评析：先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑定积。

对策三、代换变形

利用题目当中的已知条件，对要求解的代数式加以代换变形，使之符合均值不等式的条件，再应用均值不等式加以求解。

例6、已知 ，且 ，求 的最小值。

解析：由 ，得

，

当且仅当时 ，即 ， 时等号成立，所以当 ， 时， 的最小值为 。

对策四、放入根号或两边平方

例7、求函数 的最大值。

解析：

（仅当 时取等号），即当 。

另解

（仅当 时取等号），

即当 。

评析：目标求积的最值，把变量都放在同一条件下的根号里或者将原式两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键之所在。

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收稿日期：2013-03-24